摘要：18．解:(Ⅰ)当,化为-- 故.满足(Ⅰ)条件的集合为 -- (Ⅱ)在区间上任取.则-- -- 因故.又在上, -- ∴只有当时.即时 才总有, -- ∴当时,在上是单调减函数 说明:本题若令求出.没有考虑的充分性扣2分 19 已知:f(x)＝,数列{}的前n项和记为,点(,)在曲线y＝f(x)上(n∈N+).且. (I)求数列{}的通项公式; (II)求证: (Ⅲ)数列{}的前n项和为.且满足: 设定的值.使得数列{}是等差数列 19 解:(Ⅰ)由于y＝ ∵点An(,)在曲线y＝f(x)上(n∈N+) ∴= f()= , 并且 -- . ∴数列{}为等差数列.并且首项为=1.公差为4 -- ∴=1+4(n-1) . ∴ ∵ . ∴ -- (II) -- -- (Ⅲ)由 . 得: -- .如果.此时 -- . 此时.数列{}是等差数列 -- 20 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立.则称函数为区间D上的凸函数 , (1)证明:定义在R上的二次函数是凸函数, 中的二次函数. 若,求取得最大值时函数的解析式, (3)定义在R上的任意凸函数, 若.证明: 20 证明:(1)任取x1 x2R,则 2f()-[f(x1)+f(x2)] =2[a()2 + b+c] -[a x12+bx1+c] - [a x22+bx2+c] =[(x1+x2)2-2(x12+x22)]= -(x1-x2)2 -- a<0 2f()-[f(x1)+f(x2)] 0 由定义得 y = f(x)是R上的凸函数 -- (2)解得 -- |f-3f||f| |f(1)| 1.|f(2)| 2,|f(3)| 3 |f(4)| |f| 16 -- a<0时f(x)= ax2+bx+c开口向下. 当且仅当时取等号.代入上式得 f(x)= -4x2+15x-12 -- (3) p q m n且p<m<n<q 不妨设m = p+i, 其中i p+q = m+n m-p = q-n = i 由定义知.任意x1 x2R,有f(x1)+f(x2) 2f() -- 取x1 = p x2 = p+2则有f 2f(p+1) 变形得f f 同理有 f f f f f f - - f f 累加求和得:f f 即 f f -- 递推i次得 f f f - f f f 令p+k = q,得f f m-p = q-n = i f f --

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