摘要：20．函数在区间内可导.导函数是减函数.且 设是曲线在点()得的切线方程.并设函数 (Ⅰ)用..表示m, (Ⅱ)证明:当, (Ⅲ)若关于的不等式上恒成立.其中a.b为实数. 求b的取值范围及a与b所满足的关系. 解:(Ⅰ)----------------2分 (Ⅱ)证明:令 因为递减.所以递增.因此.当, 当.所以是唯一的极值点.且是极小值点.可知的 最小值为0.因此即----------6分 (Ⅲ)解法一:.是不等式成立的必要条件.以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 另一方面.由于满足前述题设中关于函数的条件.利用(II)的结果可知.的充要条件是:过点(0.)与曲线相切的直线的斜率大于.该切线的方程为 于是的充要条件是----------10分 综上.不等式对任意成立的充要条件是 ① 显然.存在a.b使①式成立的充要条件是:不等式 ② 有解.解不等式②得 ③ 因此.③式即为b的取值范围.①式即为实数在a与b所满足的关系.----12分 (Ⅲ)解法二:是不等式成立的必要条件.以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 ------------------------8分 令.于是对任意成立的充要条件是 由 当时当时..所以.当时.取最小值.因此成立的充要条件是.即------10分 综上.不等式对任意成立的充要条件是 ① 显然.存在a.b使①式成立的充要条件是:不等式 ② 有解.解不等式②得 因此.③式即为b的取值范围.①式即为实数在a与b所满足的关系.----12分

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