摘要: 在平面直角坐标系中.现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限.斜靠在两坐标轴上.且点A.如图所示,抛物线经过点B. (1) 求点B的坐标, (2) 求抛物线的解析式, (3)在抛物线上是否还存在点P.使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在.求所以点P的坐标,若不存在.请说明理由. [答案]解:(1)过点B作BD⊥x轴.垂足为D.∵∠BCD+∠ACO=90° .∠ACO+∠OAC =90°, ∴∠BCD=∠CAO, 又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC. ∴ △BDC≌△CAO=90°.∴BD=OC=1.CD=OA=2,∴点B的坐标为(3,1) (2)抛物线经过点B(3,1).则得 解得.所以抛物线的解析式为 (3)假设存在点P.似的△ACP是直角三角形: ①若以AC为直角边.点C为直角顶点,则延长BC至点P1 使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1.过点P1作P1M⊥x轴.如图(1). ∵CP1=BC.∠MCP1=∠BCD. ∠P1MC=∠BDC=90°.∴△MCP1≌△BCD ∴ CM=CD=2.P1M=BD=1.可求得点P1,经检验点P1在抛物线为上, ②若以AC为直角边. 点A为直角顶点,则过点A作AP2⊥CA.且使得AP2=AC.得到等腰直角三角形ACP2.过点P2作P2N⊥y轴.如图(2).同理可得△AP2N≌△CAO,∴NP2=OA=2.AN=OC=1.可求得点P2.,经检验点P2也在抛物线上, ③若以AC为直角边. 点A为直角顶点,则过点A作AP3⊥CA.且使得AP3=AC.得到等腰直角三角形ACP3.过点P3作P3H⊥y轴.如图(3)同理可得△AP3H≌△CAO,∴HP3=OA=2.AH=OC=1.可求得点P3(2.3).,经检验点P3(2.3)不抛物线上, 故符合条件的点有P1.P2两个.

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