摘要： (2011湖北武汉市.25.12分)如图1.抛物线y=ax2+bx+3经过A.B两点． (1)求抛物线的解析式, (2)设抛物线的顶点为M.直线y=-2x+9与y轴交于点C.与直线OM交于点D．现将抛物线平移.保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点.求它的顶点横坐标的值或取值范围, (3)如图2.将抛物线平移.当顶点至原点时.过Q(0.3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E.F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P.使△PEF的内心在y轴上．若存在.求出点P的坐标,若不存在.请说明理由． [答案](1)抛物线y=ax2+bx+3经过A.B两点 ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0 解得a＝1 . b ＝4 ∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3 配方得y=(x+2)2-1 ∴抛物线的顶点M ∴直线OD的解析式为y=x 于是设平移的抛物线的顶点坐标为(h.h). ∴平移的抛物线解析式为y=(x-h)2+h． ①当抛物线经过点C时.∵C(0.9).∴h2+h=9. 解得h=． ∴ 当 ≤h＜ 时.平移的抛物线与射线CD只有一个公共点． ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时. 由方程组y=(x-h)2+h.y=-2x+9． 得 x2+(-2h+2)x+h2+h-9=0. ∴△=(-2h+2)2-4(h2+h-9)=0. 解得h=4． 此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3.3).符合题意． 综上:平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时.顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ≤h＜． (3)方法1 将抛物线平移.当顶点至原点时.其解析式为y=x2. 设EF的解析式为y=kx+3(k≠0)． 假设存在满足题设条件的点P(0.t).如图.过P作GH∥x轴.分别过E.F作GH的垂线.垂足为G.H． ∵△PEF的内心在y轴上. ∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP.∴△GEP∽△HFP. ∴GP/PH=GE/HF, ∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t) ∴2kxE·xF=(t-3)(xE+xF) 由y=x2.y=-kx+3．得x2-kx-3=0． ∴xE+xF=k.xE·xF=-3． ∴2k(-3)=(t-3)k ∵k≠0.∴t=-3． ∴y轴的负半轴上存在点P.使△PEF的内心在y轴上． 方法2 :设EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E.F的坐标分别为(m.m2)(n.n2)由方法1知:mn=-3．作点E关于y轴的对称点R(-m.m2),作直线FR交y轴于点P.由对称性知∠EPQ=∠FPQ.∴点P就是所求的点． 由F.R的坐标.可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn． 当x=0.y=mn=-3. ∴P． ∴y轴的负半轴上存在点P.使△PEF的内心在y轴上．

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