摘要：27．如图.二次函数的图象经过点D.与x轴交于A.B两点． ⑴求的值, ⑵如图①.设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点.直线AC将四边形ABCD的面积二等分.试证明线段BD被直线AC平分.并求此时直线AC的函数解析式, ⑶设点P.Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点.试猜想:是否存在这样的点P.Q.使△AQP≌△ABP?如果存在.请举例验证你的猜想,如果不存在.请说明理由． [分析]⑴将D点坐标代入二次函数解析式即可求出c的值,⑵要证明线段BD被直线AC平分.从“直线AC将四边形ABCD的面积二等分 来录求解题思路.不难发现S△ABC=S△ADC．通过面积法可得AC公共边上的两条高相等.再通过全等可得线段BD被直线AC平分,⑶通过逆向思考.假设存在这样的点P.Q.使△AQP≌△ABP.则可得AP平分∠QAB.通过画图可进一步确认其存在的可能性． [答案]⑴ ∵抛物线经过点D() ∴ ∴c=6. ⑵过点D.B点分别作AC的垂线.垂足分别为E.F.设AC与BD交点为M. ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分.即:S△ABC=S△ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF. ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM ∴DM=BM 即AC平分BD ∵c=6. ∵抛物线为 ∴A().B() ∵M是BD的中点 ∴M() 设AC的解析式为y=kx+b.经过A.M点 解得 直线AC的解析式为. ⑶存在．设抛物线顶点为N(0.6).在Rt△AQN中.易得AN=.于是以A点为圆心.AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q.连接AQ.再作∠QAB平分线AP交抛物线于P.连接BP.PQ.此时由“边角边 易得△AQP≌△ABP． [涉及知识点]二次函数.一次函数.解直角三角形及其知识的综合运用 [点评]一道题能涉及众多重点知识.既有代数的.又有几何的.又能考查到重要的数学思想.方法.这正是代数几何综合题的“本色 .综合性强.能力要求高.区分度大.决定了代数几何综合题历来被命题者所看重．从近几年的中考来看.不少试卷把其作为压轴题把关．在复习中要对这类问题引起足够重视.掌握这类问题的几种典型类型.加强这类问题的训练． [推荐指数]★★★★

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