摘要：(2010年河南中考模拟题3)在△ABC中.∠A＝90°.AB＝4.AC=3.M是AB上的动点.过点M作MN∥BC交AC于点N. 以MN为直径作⊙O.并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. (1) 当x为何值时.⊙O与直线BC相切? (2)在动点M的运动过程中.记△MNP与梯 形BCNM重合的面积为y.试求y与x间函数 关系式.并求x为何值时.y的值最大.最大值是多少? 答案:(1)如图.设直线BC与⊙O相切于点D.连接OA.OD.则OA=OD=MN 在Rt⊿ABC中.BC==5 ∵MN∥BC.∴∠AMN=∠B.∠ANM=∠C ⊿AMN∽⊿ABC.∴.. ∴MN=x, ∴OD=x 过点M作MQ⊥BC于Q.则MQ=OD=x. 在Rt⊿BMQ和Rt⊿BCA中.∠B是公共角 ∴Rt⊿BMQ∽Rt⊿BCA. ∴.∴BM==x.AB=BM+MA=x +x=4,∴x= ∴当x=时.⊙O与直线BC相切. (3)随着点M的运动.当点P 落在BC上时.连接AP.则点O为AP的中点. ∵MN∥BC.∴∠AMN=∠B.∠AOM=∠APC ∴⊿AMO∽⊿ABP.∴=.AM=BM=2 故以下分两种情况讨论: 当0＜x≤2时.y=S⊿PMN=x2. ∴当x=2时,y最大=×22= 当2＜x＜4时.设PM.PN分别交BC于E.F ∵四边形AMPN是矩形. ∴PN∥AM.PN=AM=x 又∵MN∥BC.∴四边形MBFN是平行四边形 ∴FN=BM=4-x.∴PF=x-(4-x)=2x-4. 又⊿PEF∽⊿ACB.∴()2= ∴S⊿PEF=(x-2)2,y= S⊿PMN- S⊿PEF=x-(x-2)2=-x2+6x-6 当2＜x＜4时.y=-x2+6x-6=-(x-)2+2 ∴当x=时.满足2＜x＜4.y最大=2. 综合上述.当x=时.y值最大.y最大=2.

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