摘要：20． 设是定义在[0.1]上的函数.若存在上单调递增.在[x*.1]上单调递减.则称为[0.1]上的单峰函数.x*为峰点.包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的[0.1]上的单峰函数.下面研究缩短其含峰区间长度的方法. (Ⅰ)证明:对任意的为含峰区间, 若为含峰区间, (Ⅱ)对给定的r.证明:存在.使得由(Ⅰ)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r, (Ⅲ)选取.由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0.)或(.1).在所得的含峰区间内选取类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0.)的情况下.试确定的值.满足两两之差的绝地值不小于0.02.且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34. (区间长度等于区间的右端点与左端点之差) [答案] [详解] (I)证明:设为的峰点,则由单峰函数定义可知在上单调递增, 在上单调递减. 当时,假设,则从而 这与矛盾,所以,即是含峰区间. 当时,假设,则,从而 这与矛盾,所以,即是含峰区间. 的结论可知: 当时,含峰区间的长度为 当时,含峰区间的长度为 对于上述两种情况,由题意得 由①得,即 又因为,所以 将②代入①得 由①和③解得 所以这时含峰区间的长度,即存在使得所确定的含峰区间 的长度不大于 (III)解:对先选择的,由(II)可知 在第一次确定的含峰区间为的情况下, 的取值应满足 由④与⑤可得 当时,含峰区间的长度为 由条件,得,从而 因此,为了将含峰区间的长度缩短到,只要取 [名师指津] 本题为信息题,通过题目中给出的信息结合已学过的数学知识解决这类问题.

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