摘要：21． 设是函数的一个极值点. (Ⅰ).求与的关系式(用表示).并求的单调区间, (Ⅱ).设..若存在使得成立.求的取值范围. 点评:本小题主要考查函数.不等式和导数的应用等知识.考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解:(Ⅰ)f `(x)＝-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x, 由f `(3)=0.得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3＝0.即得b＝-3-2a. 则 f `(x)＝[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x ＝-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x＝-(x-3)(x+a+1)e3-x. 令f `(x)＝0.得x1＝3或x2＝-a-1.由于x＝3是极值点. 所以x+a+1≠0.那么a≠-4. 当a<-4时.x2>3＝x1.则 在区间上.f `(x)<0. f (x)为减函数, 在区间(3.―a―1)上.f `(x)>0.f (x)为增函数, 在区间(―a―1.+∞)上.f `(x)<0.f (x)为减函数. 当a>-4时.x2<3＝x1.则 在区间(-∞.―a―1)上.f `(x)<0. f (x)为减函数, 在区间(―a―1.3)上.f `(x)>0.f (x)为增函数, 在区间上.f `(x)<0.f (x)为减函数. 知.当a>0时.f (x)在区间(0.3)上的单调递增.在区间(3.4)上单调递减.那么f (x)在区间[0.4]上的值域是[min.f (4) ).f (3)]. 而f (0)＝-(2a+3)e3<0.f (4)＝(2a+13)e-1>0.f (3)＝a+6. 那么f (x)在区间[0.4]上的值域是[-(2a+3)e3.a+6]. 又在区间[0.4]上是增函数. 且它在区间[0.4]上的值域是[a2+.(a2+)e4]. 由于(a2+)-(a+6)＝a2-a+＝()2≥0.所以只须仅须 (a2+)-(a+6)<1且a>0.解得0<a<. 故a的取值范围是(0.).

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