摘要：第一阶梯 [例1]将下列对数式化为指数式.指数式化为对数式: (1)log216=4, (3)54=625, 解:(1)24=16 (3)∵54=625.∴log5625=4. [例2]解下列各式中的x: (3)2x=3, . 解: (3)x=log23. (4)将方程变形为 [例3]求下列函数的定义域: 思路分析: 求定义域即求使解析式有意义的x的范围.真数大于0.底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件. 解:(1)令x2-4x-5>0.得>0.故定义域为{x|x<-1.或x>5} ∴0<4x-3≤1. 所以所求定义域为{x|-1<0.或0<x<2}. 第二阶梯 [例4]比较下列各组数中两个值的大小 (1)log23.4. log28.5, (2)log0.31.8. log0.32.7, (3)loga5.1. loga5.9. 思路分析: 题中各组数可分别看作对数函数y=log2x.y=log0.3x.y=logax的两函数值.可由对数函数的单调性确定. 解:(1)因为底数2>1.所以对数函数y=log2x在上是增函数.于是log23.4<log28.5, (2)因为底数为0.3.又0<0.3<1.所以对数函数y=log0.3x在上是减函数.于是log0.31.8> log0.32.7, (3)当a>1时.函数y=logax在上是增函数.所以loga5.1<loga5.9, 当0<a<1时.函数 y=logax在上是减函数.所以loga5.1>loga5.9. 说明:本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题.对底数与1的大小关系未明确指定时.要分 情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.利用函数单调性比较对数的大小.是重要的基本方 法. [例5]若a>0.a≠1.x＞0.y＞0.x＞y.下列式子中正确的个数是( ) (1)logax·logay=loga(x+y), (2)logax-logay=loga(x-y), (4)logaxy=logax·logay, A.0 B.1 C.2 D.3 思路分析: 对数的运算实质是把积.商.幂的对数运算分别转化为对数的加.减.乘的运算.在运算中要注意不能把 对数符号当作表示数的字母参与运算.如logax≠loga·x.logax是不可分开的一个整体.4个选项都把对 数符号当作字母参与运算.因此都是错误的. 答案:A [例6]已知lg2=0.3010.lg3=0.4771.求 . 思路分析:解本题的关键是设法将 的常用对数分解为2.3的常用对数代入计算. 解: 第三阶梯 [例7]若方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1.求a的取值范围. 思路分析:由对数的性质.方程可变形为关于lgx的一元二次方程.化归为一元二次方程解的讨论问题. 解:原方程化为 =4. 2lg2x+3lga·lgx+lg2a-4=0. 令t=lgx.则原方程等价于 2t2+3tlga+lg2a-4=0.(*) 若原方程的所有解都大于1.则方程(*)的所有解均大于0.则 说明:换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性. [例8]将y=2x的图像( ) A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位 C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像.可得函数y=log2(x+1)的图像. 思路分析:由于第二步的变换结果是已知的.故本题可逆向分析. 解法1:在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像.直接观察.即可得D. 解法2:与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像.为了得到它. 只需将y=2x的图像向下平移1个单位. 解法3: 本身.函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0.0)点.因此排除A.B.C.即得D. 说明:本题从多角度分析问题.解决问题.注意培养思维的灵活性. [例9]已知log189=a.18b=5.求log3645的值, 思路分析: 当指数的取值范围扩展到有理数后.对数运算就是指数运算的逆运算(扩展之前开方运算是乘方运算的逆 运算).因此.当一个题目中同时出现指数式和对数式时.一般要把问题转化.即统一到一种表达形式 上. 解:由18b=5.得b=log185. 又log189=a. ∴log189+log185=log3645=a+b.则 说明:在解题过程中.根据问题的需要指数式转化为对数式.或者对数式转化为指数式运算.这正是数 学转化思想的具体体现.转化思想是中学重要的教学思想.要注意学习.体会.逐步达到灵活应 用.

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