摘要：2．不直接作出所求之距离.间接求之． (1)利用二面角的平面角． 课本P．42第4题.P．46第2题.第4题给出了“二面角一个面内的一个点.它到棱的距离.到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系 ．如图2.二面角M-CD-N的大小为α.A∈M.AB⊥CD.AB＝a.点A到平面N的距离AO＝d. 则有d＝asinα． ① ①中的α也就是二面角的大小.而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角． 解法2．如图3.过B作BP⊥EF.交FE的延长线于P.易知BP＝.这就是点B到二面角C-EF-G的棱EF的距离．连结AC交EF于H.连结GH.易证∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角．∵ GC＝2.AC＝4.AH＝.∴ CH＝3.GH＝.sin∠GHC＝2/.于是由①得所求之距离d＝BP·sin∠GHC＝· ＝．解略． (2)利用斜线和平面所成的角． 如图4.OP为平面α的一条斜线.A∈OP.OA＝l.OP与α所成的角为θ.A到平面α的距离为d.则由斜线和平面所成的角的定义可知.有d＝lsinθ．② 经过OP与α垂直的平面与α相交.交线与OP所成的锐角就是②中的θ.这里并不强求要作出点A在α上的射影B.连结OB得θ． 解法3．如图5.设M为FE与CB的延长线的交点.作BR⊥GM.R为垂足．又GM⊥EB.易得平面BER⊥平面EFG.ER为它们的交线.所以∠REB就是EB与平面EFG所成的角θ．由△MRB∽△MCG.可得BR＝.在Rt△REB中.∠B＝90°.BR＝.EB＝2.所以sinθ＝BR/ER＝.于是由②得所求之距离d＝． 图5 图6 (3)利用三棱锥的体积公式． 解法4．如图6.设点B到平面EFG的距离为d.则三棱锥B-EFG的体积V＝(1/3)S△EFG·d．另一方面又可得这个三棱锥的体积V＝(1/3)S△FEB·CG.可求得S△FEB＝(1/4)S△DAB＝2.S△EFG＝.所以有1/3··d＝1/3·2·2.得d＝． 二.不经过该点间接确定点到平面的距离 1．利用直线到平面的距离确定 解法5．如图7.易证BD∥平面EFG.所以BD上任意一点到平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．由对称思想可知.取BD中点O.求点O到平面EFG的距离较简单．AC交EF于H.交BD于O．易证平面GHC⊥平面EFG.作OK⊥HG.K为垂足.OK＝为所求之距离． 图7 图8

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