摘要：21．已知常数a>0.向量c=．经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0.a)以i-2λc方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R．试问:是否存在两个定点E.F.使得|PE|+|PF|为定值．若存在.求出E.F的坐标,若不存在.说明理由． [命题意图] 本题主要考查平面向量的概念和向量的线性运算.根据已知条件求动点的轨迹方程.并讨论轨迹曲线的性质.着重考查直线.圆和椭圆等平面解析几何的基础知识.以及综合应用所学知识分析和解决问题的能力． 试题用向量的形式给出两条相交直线的条件.围绕交点P提出个一个探索性的问题:讨论是否存在两个定点.使得点P到这两个定点距离之和为一定值．在这里.点P因实数λ的变化而动．考生在审题时.必须自觉理解到问题的这个特点.具备“运动变化 和“动中求静 的辩证法的思想和观点.只有这样才能有效破题.获得问题的解答．可见试题重在考查思维和分析的能力．同时.该题的设计.围绕平面解析几何的主体知识.将传统的坐标法与向量法有机结合起来.旨在考查综合应用能力． [解题思路] 有关存在性问题的讨论.许多时候可用构造法.这是一种基本的.而且也是比较原始的方法．就本题而言.即假设符合要求的定点存在.依题意列写出定点坐标所满足的方程.进而探求方程的解是否存在．依此思路.由于未知量比较多.方程的列写也难以简明.因而推演起来工作量大.而且繁杂．显然采用构造法绝非上策.宜另谋出路． 从试题的实际出发.联想广泛可用的知识.才能获得有效的求解思路和方法．题设的点P是两条动直线的交点.随着λ取遍实数集R中所有的值.点P的集合是一条轨迹曲线．另一方面.到两个定点距离之和为一定值的点之集合可能有两种情况:其一.当定值大于两个定点的距离时.该点集是椭圆曲线,其二.当定值等于两个定点的距离时.该点集是连结两点的线段．由于平面上到两个定点距离之和不可能小于两定点的距离.所以也就不可能出现第三种情况．由这样的思考.可得解题思路如下: 从求点P的轨迹方程入手.进而讨论轨迹曲线的性质.便可获得本题的答案． 由题设.可作图观察．图中.向量直线分别过点O和A.其方向向量分别为c+λi和i-2λc.点P是的交点．为了求点P的轨迹方程.可采用不同的方法．在这里.有一点值得注意的是:试题本身并没有要求考生求点P的轨迹方程.我们是借助轨迹的思想.只须求出点P的坐标所应满足的方程.进而展开讨论.而无须检验满足方程的每一个解为坐标的点都是符合题意的点P.也即无须要求所得方程的纯粹性.与严格意义上的求轨迹方程有所不同． 解法1 因为 c+λi=, i-2λc==, 所以 直线OP与AP的方程分别为 λy=ax y-a=-2λax, 式中.a>0,λ∈R． 整理得 因为a>0,所以得: (i)当时.方程①是圆方程.故不存在合乎题意的定点E和F, (ii)当时.方程①表示椭圆.故焦点为合乎题意的两个定点, (iii)时.方程①也表示椭圆.故焦点为合乎题意的两个定点． 解法2 依题设.有实数m和n满足 所以点P(x,y)的坐标为 整理得点P的坐标满足方程 以下的讨论同解法1．此处从略． [命题意图] 本小题主要考查数列.等比数列的基础知识和数学归纳法.同时考查抽象推理等理性思维能力． 数学高考中较难的数列解答题.一般都是给出一个递推关系.通过它或者转化为等差.等比数列.或者通过由特殊到一般的猜想.归纳.或者通过顺次迭代.以求出其通项．而试题的难度则由给出的递推关系与初始值来调整．2002年的数列解答题给出相邻四项的数量关系.较为新颖.2003年定位于回归到考生较为熟悉的相邻两项的数量关系.基本递推关系为“ ．理科试题改变以往给出初始值的做法.给出常数证明数列的一个通项公式.这种提问方式反映出新的考查角度.不让考生死套题型.有利于考查独立思考能力和理性思维能力.对文科考生则降低抽象思维的要求.递推关系简化为基本形式“ .并给出初始值a=1.使试题难度较为切合文科考生的实际． [解题思路] 常规方法是通过递推关系的变形转化为等比数列.但过程较繁.用数学归纳法或迭代方法较顺畅． 当n=1时.由已知等式成立, 时等式成立.即 也就是说.当n=k+1时.等式也成立． 根据.可知等式对任何正整数n成立． 证法4顺次迭代 (i)当n=2k-1,k=1,2,-时.①式即为 ②式对k=1,2,-都成立.有 (ii)当n=2k,k=1,2,-时.①式即为 ③式对k=1,2,-都成立.有 [以下同解法1] 解法3 下面证明当 (i)当n=2k-1,k=1,2,-时. (ii)n=2k,k=1,2-时.

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