摘要：问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中.得到了如下两个命题: ①如图1.在正三角形△ABC中.M.N分别是AC.AB上的点.BM与CN相交于点O.若∠BON＝60º.则BM＝CN, ②如图2.在正方形ABCD中.M.N分别是CD.AD上的点.BM与CN相交于点O.若∠BON＝90º.则BM＝CN, 然后运用类比的思想提出了如下命题: ③如图3.在正五边形ABCDE中.M.N分别是CD.DE上的点.BM与CN相交于点O.若∠BON＝108º.则BM＝CN. 任务要求: (1)请你从①.②.③三个命题中选择一个进行证明,(说明:选①做对得4分.选②做对得3分.选③做对得5分) (2)请你继续完成下列探索: ①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH.使点H在正五边形的边上.且与CN相交所成的一个角是108º.这样的线段有几条?(不必写出画法.不要求证明) ②如图4.在正五边形ABCDE中.M.N分别是DE.EA上的点.BM与CN相交于点O.若∠BON＝108º.请问结论BM＝CN是否还成立?若成立.请给予证明,若不成立.请说明理由. [解] (1)以下答案供参考: (1) 如选命题① 证明:在图1中.∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°.∴∠1=∠3 又∵BC=CA.∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN ∴BM=CN (2)如选命题② 证明:在图2中.∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°.∴∠1=∠3 又∵BC=CD.∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN ∴BM=CN (3)如选命题③ 证明,在图3中.∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 又∵BC=CD.∠BCM=∠CDN=108° ∴ΔBCM≌ΔCDN ∴BM=CN (2)①答:当∠BON=时结论BM=CN成立． ②答当∠BON=108°时.BM=CN还成立 证明,如图5连结BD.CE. 在△BCI)和△CDE中 ∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE ∴ΔBCD≌ ΔCDE ∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108° ∴∠MBC=∠NCD 又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN ∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN

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