摘要：某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测.迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成.其中AB所在的抛物线以A为顶点.开口向下.BC所在的抛物线以C为顶点.开口向上．以过山脚(点C)的水平线为x轴.过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图．已知AB所在抛物线的解析式为.BC所在抛物线的解析式为.且已知． (1)设是山坡线AB上任意一点.用y表示x.并求点B的坐标, (2)从山顶开始.沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米.长度因坡度的大小而定.但不得小于20厘米.每级台阶的两端点在坡面上． ①分别求出前三级台阶的长度, ②这种台阶不能一直铺到山脚.为什么? (3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地.可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处.(米)．假设索道DE可近似地看成一 段以E为顶点.开口向上的抛物线.解析式为．试求索道的最大悬空高度． [解] (1)∵是山坡线AB上任意一点. ∴.. ∴. ∵.∴＝4.∴ (2)在山坡线AB上.. ①令.得 ,令.得 ∴第一级台阶的长度为 同理.令..可得. ∴第二级台阶的长度为 第三级台阶的长度为 ②取点.又取.则 ∵ ∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B.从而就不能一直铺到山脚 (注:事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度.共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性) ②另解:连接任意一段台阶的两端点P.Q.如图 ∵这种台阶的长度不小于它的高度 ∴ 当其中有一级台阶的长大于它的高时. 在题设图中.作于H 则.又第一级台阶的长大于它的高 ∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B.从而就不能一直铺到山脚 (3) ... 由图可知.只有当索道在BC上方时.索道的悬空高度才有可能取最大值 索道在BC上方时.悬空高度 当时. ∴索道的最大悬空高度为米．

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