摘要：如图.在平面直角坐标系中.△ABC是直角三角形.∠ACB=90.AC=BC.OA=1.OC=4.抛物线y=x2+bx+c经过A.B两点.抛物线的顶点为D． (1)求b.c的值, (2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点.过点E作x轴的垂线交抛物线于点F.当线段EF的长度最大时.求点E的坐标, 的条件下: ①求以点E.B.F.D为顶点的四边形的面积, ②在抛物线上是否存在一点P.使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在.求出所有点P的坐标,若不存在.说明理由． 考点:二次函数综合题. 分析:(1)由∠ACB=90°.AC=BC.OA=1.OC=4.可得A.然后利用待定系数法即可求得b.c的值, (2)由直线AB经过点A.即可求得直线AB的解析式.又由二次函数y=x2﹣2x﹣3.设点E.则可得点F的坐标.则可求得EF的最大值.求得点E的坐标, (3)①顺次连接点E.B.F.D得四边形EBFD.可求出点F的坐标(.).点D的坐标为由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得, ②过点E作a⊥EF交抛物线于点P.设点P.可得m2﹣2m﹣2=.即可求得点P的坐标.又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3.设P3.可得n2﹣2n﹣2=﹣.求得点P的坐标.则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标． 解答:解:.B(4.5). ∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A. ∴. 解得:b=﹣2.c=﹣3, (2)如图:∵直线AB经过点A. ∴直线AB的解析式为:y=x+1. ∵二次函数y=x2﹣2x﹣3. ∴设点E.则F. ∴EF==﹣(t﹣)2+. ∴当t=时.EF的最大值为. ∴点E的坐标为(.), (3)①如图:顺次连接点E.B.F.D得四边形EBFD． 可求出点F的坐标(.).点D的坐标为 S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××(4﹣)+××(﹣1)=, ②如图: ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P.设点P 则有:m2﹣2m﹣2=. 解得:m1=.m2=. ∴P1(.).P2(.). ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3.设P3 则有:n2﹣2n﹣2=﹣. 解得:n1=.n2=. ∴P3(.). 综上所述:所有点P的坐标:P1(.).P2(.).P3(.)能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形． 点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式.四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强.解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．

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