北海市2009年高中毕业班第一次质量预测
数学（理科）（必修+选修Ⅱ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷l至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答卷一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、
座号填写清楚，并将准考证号对应的数字涂黑．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动．用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
参考公式：
如果事件
，
互斥，那么 球的表面积公式
如果事件，相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是
，那 
么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、选择题(每小题5分，共60分．每小题只有一项正确，请把答案写在答题卡上．)
1．设
，则
A．
B．
C．
D．
2．设复数
，则复数
在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为
A．
B．
C．
D．
4．将1、2、3、…、9这9个数字填在如图的9个空格中，要求
每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3、4固定在图中
的位置时，填写空格的方法为
A．6种 B．12种
C．18种 D．24种
5．若互不相等的实数
，
，
成等差数列，
，
，
成等比数列，且
，
则
txjy A．
B．
D．20
6．如右图，在正方体
中，
为棱
的中点，则
与
所在直线
所成角的余弦值等于
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
且
，则
的值为
A．
B．
C．0 D．2
8．同时具有性质：“①最小正周期是
；②图像关于直线
对称；③在
上是
增函数”的一个函数是
A．
B．
C．
D．
9．图中三条曲线给出了三个函数的图象，一条是汽车位移函数
，一条是汽车速度函数
，一条是汽车加速度函数
，则
A．曲线是的图象，是的图象，
是的图象
B．曲线是的图象，是的图象，
是的图象
C．曲线是的图象，是的图象，是的图象
D．曲线c是的图象，是的图象，是的图象
10．斜率为2的直线
过双曲线
的右焦点，且与双曲线的左右
两支分别相交，则双曲线的离心率
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
11．定义在R上的函数
的反函数为
，且对于任意
，都有
，则
A．0 B．
C．2
D．
12．已知
，如果对一切实数
，都有
，则一定为
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．与的值有关
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证
号填写清楚．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作
答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共l0小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（注意：在试题卷上作答无效）txjy
13．已知
则
的最大值是
．
14．若
的展开式的第7项为
，则
．
15．已知点是抛物线
上的点，设点到抛物线准线的距离为
，到圆
上的一动点
的距离为
，则
的最小值是
．
16．下列命题：
① 如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；
② 如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③ 平行于同一平面的两个不同平面相互平行；
④ 垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．
其中真命题的是 ．（把正确的命题序号全部填在横线上．）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）
，，为的内角
、
、
的对边，
且
与
的夹角为
．
（1）求角；
（2）已知
的面积
，求
．
18．（本题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图所示，正方形
和矩形
所在平面相互垂直，
是
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）若直线
与平面成45°角，求二面角
的大小．
19．（本题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有l件是二等品”的概率
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中一次性任意抽取2件，用
表示取出的2件产品中的二等品的件数，求的分布列及期望．
20．（本题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知三次函数
在
上单调递增，在
上单调递减，当且仅当
时，
．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数
，求
的单调区间和极值．txjy
21．（本题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知点
、
分别在直线
和
上运动，点是线段
的中点，且
，动点的轨迹是曲线．
（1）求曲线的方程，并讨论所表示的曲线类型；
（2）当
时，过点
的直线与曲线恰有一个公共点，求直线的斜率．
22．（本题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
设
，给定数列
，其中
．求证：
（1）
；
（2）如果
，那么
．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
D
B
C
C
D
D
A
C
二、填空题
13．
14．
15．4 16．③④
三、解答题
17．解：（1）
，
（2分）
又
（4分）
. （6分）
（2）
（8分）
（10分）
18．（1）证明：连结
交
于点
，取
的中点
，连结
，则// 
且
依题意，知
且
，
，且
，
故四边形
是平行四边形，
，即
（3分）
又
平面
，
平面
平面， （6分）
（2）解：处长
交
的处长线于
点，连结
，作
于
，连结
．
∵平面
平面
，平面
平面
平面，
由三垂线定理，知
，故
就是三面角
的平面角．（8分）
∵平面平面，平面平面
平面
，故
就是直线与平面成的角， （10分）
知
设
，则
．
在直三角形
中：
．
在直角三角形
中：
故三而角的大小为60°． （12分）
19．解：（1）记
表示事无偿援助，“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”。则、互斥，且
故
依题意，知
又
，得
（6分）
（2）（理）
可能的取值为0，1，2，
若该批产品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0．2=20件，故
（9分）
0
1
2
所以的分布列为
∴的期望
（12分）
20．解：（1）
在
上单调递增，
上单调递减，
有两根
，2，
（4分）
今
则
因为
在
上恒大于0，
所以
在上单调递增，故
（6分）
（2）
（8分）
①当
时，
，定义域为
恒成立，
在上单调递增； （9分）
②当
时，
，定义域：
恒成立，在
上单调递增； （10分）
③当
时， 
，定义域：
由得
，由
得
．
故在
上单调递增；在
上单调递减． （11分）
所以当时，在上单调递增，故无极值；
当时，在上单增；故无极值．
当时，在上单调递增；在上单调递减．
故有极小值，且的极小值
． （12分）
21．解：（1）设
依题意得
（2分）
消去
，
，整理得
． （4分）
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示圆． （6分）
（2）当
时，方程为
设直线
的方程为
（8分）
消去得
（10分）
根据已知可得
，故有
直线的斜率为
（12分）
22．证明：（1）即证
（2分）
假设
则
（4分）
综上所述，根据数学归纳法，命题成立 （6分）
（2）由（1），得
（8分）
（10分）
又
即
（12分）