山东省淄博市2006―2007学年度第一次模拟考试高三数学（理科）
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．
等于
（ D
）
A．2-2i B．2+2i C．-2 D．2
2．已知(
)
的展开式中，不含x的项是
,那么正数p的值是
（ C ）
A．
1
B．
3．在
中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么一定是
（ B ）
Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三角形
4．已知直线
上一点P的横坐标为a，有两个点A（-1，1），B（3，3），那么使向量
与
夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是
（ B ）
Ａ．-1<a<2 Ｂ．0<a<1 Ｃ．
Ｄ．0<a<2
5．若指数函数
的部分对应值如下表：
x
－2
0
0.592
1
则不等式
(|x|)<0的解集为
( D )
A．
B．
C．
D．
6．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （D）
Ａ．10 Ｂ．48 Ｃ．60 Ｄ．80
7．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1，且对任意实数a，b都有f(a) -f(a-b)= b(
A．
B．
C．
D．
8．已知
是首项为1，公比为
的等比数列，
，
，（其中
表示
的最大整数，如[2.5]=2）．如果数列
有极限，那么公比的取值范围是
( C )
A．
B．
C．
D． 
淄博市2006―2007学年度第一次模拟考试高三数学（理科）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
得分
评卷人
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在 题中横线上。
9．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为
的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量=
．
10．若焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，则m=_________．
11．如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆
交于M、N两点，
且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k=_____________；不等式组 
表示的平面区域的面积是_____________．
12．设函数f(x)=
，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=______________,关于x的方程f(x)= x的解的个数为___________．
13．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于_________,球的表面积等于__________．
14．设函数f(x)=sin(wx+
)(w＞0,－
＜＜
,给出以下四个结论：
①它的周期为π;
②它的图象关于直线x=
对称；
③它的图象关于点（
,0）对称； ④在区间（－
,0）上是增函数.
以其中两个论断为条件，另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题：____．
（注：填上你认为是正确的一种答案即可）
得分
评卷人
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设
为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且
．
(I) 求文娱队的人数；
(II) 写出的概率分布列并计算
．
得分
评卷人
16．（本小题满分13分）
已知函数
，曲线
在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
，若
时，
有极值．
(I) 求a、b、c的值；
(II) 求在[-3,1]上的最大值和最小值．
17．（本小题满分14分）
如图，三棱锥P―ABC中， PC
平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
(I) 求证：AB平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
（III）求二面角C-PA-B的大小．
18．（本小题满分13分）设A，B分别是直线
和
上的两个动点，并且
，动点P满足
．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且
，求实数
的取值范围．
19．(本小题满分13分)已知
，
，数列
满足
，
， 
．
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，
取最大值，并求出最大值；
（III）若
对任意
恒成立，求实数的取值范围．
20．(本小题满分14分)已知函数
,（ x>0）．
（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；
（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]
(m≠0),求m的取值范围．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．Ｃ 3．B 4．Ｂ 5．Ｄ 6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｃ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．72 10．
11．1 ，
12．f(x)=
，3
13．
，
14．①②
③④ , ①③②④
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是
（7-2 x）人．
(I)∵
，
∴
．……………………………………3分
即
．
∴
．
∴x=2． ……………………………………5分
故文娱队共有5人．……………………………………7分
(II) 
的概率分布列为
0
1
2
P
，……………………………………9分
，……………………………………11分
∴
=1． …………………………13分
16．（本小题满分13分）
解：(I)由
，得
．……………………………………2分
当x=1时，切线l的斜率为3，可得
当
时，
有极值，则
，可得
由①、②解得 a=2,b=-4．……………………………………5分
设切线l的方程为 
．
由原点到切线l的距离为
，
则
．解得m=±1．
∵切线l不过第四象限，
∴m=1．……………………………………6分
由于l切点的横坐标为x=1，∴
．
∴1+a+b+c=4．
∴c=5．…………………………………………………………………7分
(II)由(I)可得
，
∴
．……………………………………8分
令
，得x=－2, ．
x
[-3,-2)
-2
(-2, 
)
(,1]
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
……………………………………11分
∴f(x)在x=－2处取得极大值f(-2)=13．
在处取得极小值
=
．
又f(-3)=8，f(1)=4．
∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13，最小值为．……………………………………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：(I) ∵PC
平面ABC，
平面ABC，
∴PCAB．…………………………2分
∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．…………………………4分
又
，
∴AB平面PCB． …………………………5分
(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．
则
为异面直线PA与BC所成的角．………6分
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，
∴CFAF．
由三垂线定理，得PFAF．
则AF=CF=
，PF=
，
在
中， tan∠PAF=
=
，
∴异面直线PA与BC所成的角为
．…………………………………9分
（III）取AP的中点E，连结CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂线定理的逆定理，得 DE PA．
∴
为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分
由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在
中，PB=
，
．
在
中， sin∠CED=
．
∴二面角C-PA-B的大小为arcsin
．……14分
解法二：（I）同解法一．
(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．
以B为原点，如图建立坐标系．
则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，
．
…………………7分
则
+0+0=2．
=
= 
．
∴异面直线AP与BC所成的角为．………………………10分
（III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．
，，
则
即
解得
令
= -1, 得 m= (，0，-1)．
设平面PAC的法向量为n=(
)．
，
，
则
即
解得
令
=1, 得 n= (1，1，0)．……………………………12分
=
．
∴二面角C-PA-B的大小为arccos
．………………………………14分
18．（本小题满分13分）
解：（I）设P（x，y），因为A、B分别为直线
和
上的点，故可设
，
．
∵
，
∴
∴
………………………4分
又
，
∴
．……………………………………5分
∴
．
即曲线C的方程为
．………………………………………6分
（II） 设N（s，t），M（x，y），则由
，可得（x，y-16）=
(s，t-16)．
故
，
．……………………………………8分
∵M、N在曲线C上，
∴
……………………………………9分
消去s得 
．
由题意知
，且
，
解得 
．………………………………………………………11分
又 
， ∴
．
解得
（）．
故实数的取值范围是（）．………………………………13分
19．（本小题满分13分）
解：（I）∵
，
，
，
∴
．
即
．
又
，可知对任何
，
，
所以
．……………………………2分
∵
，
∴
是以
为首项，公比为
的等比数列．………4分
（II）由（I）可知
=
（
）．
∴
．
．……………………………5分
当n=7时，
，
；
当n<7时，
，
；
当n>7时，
，
．
∴当n=7或n=8时，
取最大值，最大值为
．……8分
（III）由
，得
（*）
依题意（*）式对任意
恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分
②当t<0时，由
，可知
（）．
而当m是偶数时
，因此t<0不合题意．…………10分
③当t>0时，由（）,
∴
∴
． （）……11分
设
（）
∵
=
,
∴
．
∴
的最大值为
．
所以实数
的取值范围是
．…………………………………13分
20．（本小题满分14分）
解：（I） ∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在
上是增函数．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，
可得 0<a
1<b和
．
即
．
∴2ab=a+b>
．……………………………………3分
故
，即ab>1．……………………………………4分
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=
的定义域、值域都是
[a，b]，则a>0．
① 当
时，
在（0，1）上为减函数．
故
即 
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………6分
② 当
时，
在上是增函数．
故
即 
此时a，b是方程
的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………8分
③ 当
，
时，
由于
，而
，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．………………………………10分
（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a>0，m>0．
① 当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故
．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
② 当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在
上是增函数，
∴
即 
a， b是方程
的两个根．
即关于x的方程有两个大于1的实根．……………………12分
设这两个根为
，
．
则+=
，?=．
∴
即 
解得 
．
故m的取值范围是．…………………………………………14分