北京市人大附中2007届摸底考试数学试卷（理科）
命题人：罗 霞
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至8页，共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题共40分）
注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号写在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
3．考试结束，将答题卡和第II卷3至8页试卷一并交回.
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集U=R，
是
（ ）
A．
B． 
C．
D．
2．在三角形ABC中
（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3．若函数
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
4．给出下面的四个命题：
（1）两个侧面为矩形的四棱柱是直四棱柱；
（2）平行六面体
（3）若
（4）
.
其中正确的命题的个数是 （ ）
A． 1
B．
5．若
，则实数k的取值范围是
（ ）
A. 0＜k＜
B . k＜
C .|k|＜ D.＜k＜1
6．设函数
的反函数为
,将
的图像向左平移两个单位，再关于
轴对称后所得到的函数的反函数是
（ ）
A . y＝
B. y＝
C. y＝
D. y＝
7．从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程
中的m和n,则能组成落在矩形区域
内的椭圆个数为 （ ）
A．43 B．
8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B
+2段与第段所在直线必须成异面直线(其中是正整数).设黑“电子狗”爬完2006段、黄“电子狗”爬完2005段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是
（ ）
A.0 B
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把最简答案填在题中横线上．
9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取____________，_______________，____________辆．
10．设函数
，若要使得函数
在
处连续，则应
．
11．在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为 ．
12． 设
的展开式的各项系数之和为M，且二项式系数之和为N，M―N=992，则展开式中x2项的系数为 ．
13．一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
．
14．读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 .
①已知命题p与命题q，若p是q的充分不必要条件，则
是
的充分不必要条件；
②若函数
是偶函数，则函数
的图象关于直线
对称；
③函数
的图象关于点（－1，－2）成中心对称；
④已知
是定义在实数集上的函数，且
，若
，则
=
．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本题满分12分）
已知集合
，并且满足
求实数
的取值范围．
16．（本小题满分13分）
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
表示取球终止所需要的取球次数.
（I）求袋中所有的白球的个数；
（II）求随机变量的概率分布；
（III）求甲取到白球的概率.
17．（本题满分13分）
设函数＝
的图象关于直线－
＝0对称.
（1）求
的值；
（2）判断并证明函数在区间（1，＋∞）上的单调性；
（3）若直线＝（∈R）与的图象无公共点，且
＜2＋
，求实数
的取值范围．
18. (本小题满分14分)
如图，四棱锥
中，
底面
,
且
，
与底面
成
角，点
分别是
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）当
为何值时，
，并请证明你的结论.
19.（本小题满分14分）
若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值
总有以下不等式
成立，则称函数为区间D上的凸函数 .
（1）证明：定义在R上的二次函数
是凸函数；
（2）设
，并且
时，
恒成立，求实数的取值范围，并判断函数能否成为
上的凸函数；
（3）定义在整数集
上的函数满足：①对任意的
，
；②
，
. 试求的解析式；并判断所求的函数是不是上的凸函数说明理由.
20
（本小题满分14分）
已知函数
，并且对于任意的
函数
的图象恒经过点
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
（用
表示）；
(3)求证：若
，则有
.
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
B
A
B
D
二．填空题：
9．6、30、10；
10．?5；
11．
；
12．?250；
13．
；
14．③④
三．解答题：
15．解： 
； ………5分
方程
有非正实数根
综上：
……………………12分16．解:(I)设袋中原有
个白球,由题意知
可得
或
(舍去)
答：袋中原有3个白球. 。。。。。。。。4分
(II)由题意,
的可能取值为1,2,3,4,5
所以的分布列为:
1
2
3
4
5
。。。。。。。。。9分
(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件
,则
答：甲取到白球的概率为
.。。。。。。。。13分
17．解：（1）由
＝
.
＝
，∴
＝1；。。。。。。。。。4分
（2）任取
、
∈（1，＋∞），且设＜，则：
－
＝
＞0，
∴＝
在（1，＋∞）上是单调递减函数；。。。。。。。。。8分
（3）当直线
＝
（∈R）与的图象无公共点时，＝1，
∴
＜2＋
＝4＝
，｜
－2｜＋
＞2，
得：＞
或＜．。。。。。。。。13分
18．（Ⅰ）证明：∵
底面
，
底面， ∴
又∵
且
平面
，平面，
，
∴
平面；
３分
（Ⅱ）解：∵点
分别是
的中点，
∴
，由（Ⅰ）知平面，
∴
平面，
∴
，
，
∴
为二面角
的平面角，
∵底面，∴
与底面所成的角即为
，
∴＝
，∵
为直角三角形斜边的中点，
∴
为等腰三角形，且
，∴
；
（Ⅲ）过点
作
交
于点
，∵底面,
∴
底面,为直线
在底面上的射影，
要
，由三垂线定理的逆定理有要 
，
设
，则由
得
，
又∴在直角三角形
中，
，
∴
，
∵ 
∴
，
，
在直角三角形
中，
，
，即
时，．
（Ⅲ）以点
为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设
，则
，
，设
，则
则
，
，
,
，时
时，
.
19
证明：（1）对任意x1, x2∈R, 当 a
0,
有 
=
=
……（3分）
∴当
时，
，即
当时，函数f(x)是凸函数. ……（4分）
（2） 当x=0时, 对于a∈R，有f(x)≤1恒成立；当x∈(0, 1]时, 要f(x)≤1恒成立
即
， ∴ 
恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ 
≥1, 当=1时, 
取到最小值为0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范围是
.
由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f(x)是凸函数………10分
（3）令
则
，∵
，∴
，……………..(11)分
令
，则
，故
；
若
，则 
；，……………..(12)分
若
，则
∴
；∴
时，
.
综上所述，对任意的，都有；……………..(13)分
所以，不是R上的凸函数. ……………..(14)分
对任意
，有
，
所以，不是
上的凸函数. ……………..(14)分
20. 解：（1）
设数列
的前项和为
，则
……….4分
（2）为偶数时，
为奇数时，
………9分
（3）方法1、因为
所以
当
，时，
，
时
又由
，两式相减得
所以若
，则有
………..14分
方法2、由，两式相减得
………..11分
所以要证明，只要证明
或①由：
所以
…………………14分
或②由：
…………………14分
数学归纳法：①当
当
②当
当
综上①②知若，则有
.
所以，若，则有.。。。。。。。。。14分