2009年安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测
数学（文科）试题
考生注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．
3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4． 答第Ⅱ卷时，必须用
5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)=P(A)?P(B).
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
.
球的表面积公式：
，其中R表示球的半径.
球的体积公式：
，其中R表示球的半径.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.
1.设
为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合M=
，N=
,则M
CRN等于
A. 
B. 
C. 
D. 
3．若函数
是周期为
的奇函数，则f（x）可以是
A.cosx B. sinx C. cos2x D.sin2x
4. 下列说法正确的是
A.做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率为
；
B.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线；
C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法；
D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.
5.在面积为S的三角形ABC内随机取一点M，则三角形MBC的面积
的概率为
A. 
B.
C.
D.
6. 右图是一个多面体的直观图和三视图如右，
则多面体A－CDEF外接球的表面积是
A.
B.
C.
D.
7．双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为
A. 
B. 
C. 
D.
8. 如果y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
① 函数y=f（x）在区间
内单调递增；
② 函数y=f（x）在区间
内单调递减；
③ 函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；
④ 
当x=2时，函数y=f（x）有极小值；
⑤ 当x=
时，函数y=f（x）有极大值.
则上述判断中正确的个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D.5
9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，
输出y的结果是0.5，则在计算框中“？”处的
关系式可以是
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线。 给出下面条件：
①a∥α，b
β； ②a⊥α，b//β； ③a⊥α，b⊥β.
其中是a⊥b的充分条件的有
A.② B.③ C.②③ D.①②③
11. 在△ABC中，∠C=90º,
，
，则k的值是
A. 
B. 
C.
D.
5
12.已知
，满足
，则函数
的图象在点
处的切线方程为
A. 
B.
C. 
D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.等比数列
中，
，
，则
;
14. 已知变量
满足条件
，若目标函数
仅在（4，2）处取得最大值，则
的取值范围是
;
15. 如图，四边形ABCD中，
a, 
b,对角线AC与BD交于点O，
若点O为BD的中点，
，则
;
16.过点
的直线
将圆
分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率k等于 ;
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）当
时，求
的最大值和最小值.
18.（本小题满分12分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为
PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
19. （本小题满分12分）
某通道有两道门，在每道门前的匣子里各有3把钥匙，其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门.
（Ⅰ）求第一道门打不开的概率；
（Ⅱ）求能进入第二道门的概率.
20.（本小题满分12分）
正项数列满足
，Sn为其前n项和，且
（n≥1）.
（Ⅰ）求数列的通项公式
（Ⅱ）等比数列
的各项均为正数，其前n项和为Tn，且b1b2b3=8，又
成等差数列，求Tn.
21．(本小题满分12分)
如图，已知圆C：
,定点A(1,0),M为圆
C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
=
,
?
=0，点N的轨迹为曲线E.
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线交曲线E于不同的两点G、H，
且满足∠GOH为锐角，求直线的斜率k的取值范围.
22. (本小题满分14分)
设函数
，若对任意
，都有≥0成立，求实数a的值.
2009年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测
一．选择题
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
A
C
B
D
A
二填空题
13. 2或8； 14．
；
15．
； 16.
.
三．解答题
17．解：（Ⅰ）
………………………………………………………………4分
…………………………6分
（Ⅱ）
…………………………………………………8分
∴
…………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．
……………………………2分
∴
＝
．………………………………………………………………4分
则V＝
． ……………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC． ……………………………………8分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC． ………………………………10分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．………………………………………………………………12分
19．设第一个匣子里的三把钥匙为A，B，C，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a能打开所有门，B只能打开第一道门，b只能打开第二道门，C,c不能打开任何一道门)
（Ⅰ）第一道门打不开的概率为
；……………………………………………………………5分
（Ⅱ）能进入第二道门的情况有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,而二把钥匙的不同情况有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc共9种，故能进入第二道门的概率为
……………………………………………………………12分
20.（Ⅰ）依题
即
（
…………………………………………………3分
故
为等差数列，a1=1，d=2
………………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）设公比为q，则由b1b2b3=8，bn>0
…………………………………………………6分
又
成等差数列
………………………………………………………………………………………8分
或
…………………………………………………………………………………10分
或
……………………………………………………………………12分
21解：（Ⅰ）依题PN为AM的中垂线
…………………………………………………2分
又C（-1，0），A（1，0）
所以N的轨迹E为椭圆，C、A为其焦点…………………………………………………………4分
a=，c=1，所以
为所求………………………………………………………5分
（Ⅱ）设直线
的方程为：y=k（x-1），代入椭圆E的方程：x2+2y2=2得：
（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0………………（1）
设G（x1，y1）、H（x2，y2），则x1，x2是（1）的两个根.
…………………………………………………………7分
依题
………………………………………………………9分
解得：
………………………………………………………………………12分
22.解法（一）：
时，
即
……①
⑴
时,
恒成立，
⑵
时，①式化为
……②
⑶
时，①式化为
……③…………………………………………………5分
记
，则
…………………………7分
所以
故由②
，由③
………………………………………………………………………13分
综上
时，在恒成立.………………………………………………14分
解法（二）：
时， 即……①
⑴
时,
，
，不合题意…………………………………………………2分
⑵
恒成立
∴
在
上为减函数，
得
，矛盾，…………………………………………………………………………………5分
⑶
，
=
若
则
，
，故在［－1,1］内，
，得，矛盾.
若
依题意，
解得
即
综上为所求.……………………………………………………………………………14分