2009年江西省抚州市高三年级教学质量检测
数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z满足(1＋i)z＝1－i3，则复数z等于
A.1 B.－i C.1－i D.－1－i
2.命题p：|x|≥1，命题q：x2＋x－6≥0，则“非p”是“非q”成立的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，其导函数的图象过二、三、四象限，则函数f(x)的图象不经过
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知直线l1：x＋y＋2＝0和直线l2：x＋y＝0，设点P到l1与l2的距离分别为d1与d2，记d＝max{d1，d2}，那么当d≥时点P所在的区域是
A B C D
5.如图在正方体ABCD―A1B
A.AE＝ED B.AE＝C
6.函数y＝log3cos x(－＜x＜)的图象是
A B C D
7.在函数y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为
A.f(x)＝2x＋1 B.f(x)＝4x
8.若AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM?kBM等于
A.－ B.－ C.－ D.－
9.若△ABC三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知m＝(a＋b，c)，n＝(a－b，c－a)，若|m＋n|＝|m－n|，则角B的大小
A.30° B.60° C.90° D.120°
10.将1、2、3、4填入4×4方格中，要求每行、每列都没有重复数字.右图是一种填法.不同的填法共有
A.24种 B.144种 C.216种 D.432种
11.x、y、z均为正实数，且4xy＋z2＋2yz＋2xz＝8，则x＋y＋z的最小值为
A.2 B
12.已知f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2009|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2009|(x∈R)且f(a2－1)＝f(a－1)，则f(a)的值有
A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.
13.已知函数f(x)＝，则f－1(－)的值是 .
14.在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 .
15.给出下列命题：
①一个球与棱长为的正方体的所有棱都相切，则此球的体积为；
②若 ()＝2，则实数a＝1＋；
③已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，则方程f(x)＝0在(1,2)内必有实根；
④圆(x－2)2＋y2＝2外的点M对该圆的视角为90°时，则点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4.
其中正确的命题序号是 .
16.在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
②对任意a∈R，a*0＝a；
③对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c.
则函数f(x)＝x*(x＞0)的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图象过点(0,2)，f(x)的最小正周期为4π，且最大值与最小值的差为2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在△ABC中，B＝，其对边为b，若f(B)＝b，求△ABC的最大面积.
18.(本小题满分12分)
某公司通过三次测试来聘用职员，一旦某次测试通过就聘用，否则就一直测试到第三次为止，现有4人前来应聘，假设每位应聘者三次通过测试的概率都依次为，，p，每位应聘者被聘用的概率为p0.
(1)求p0与p之间的关系式(用p表示p0)；
(2)若4位应聘者中恰有2人被聘用的概率最大，求p0与p的值；
(3)在(2)的条件下，求4位应聘者中被聘用人数ξ的分布列及Eξ.
19.(本小题满分12分)
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，Q是BC边上的一点，又PA⊥平面ABCD，且PA＝4，直线PQ与平面ABCD所成角的正切值为.
(1)求二面角Q―PD―A的大小；
(2)求点A到平面PDQ的距离.
20.(本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，曲线段MN是反比例函数图象的一段，记这段图象对应的函数为y＝f(x).
(1)写出函数y＝f(x)的解析式，并指出它的定义域；
(2)设P是函数f(x)图象上的任意一点，P点的横坐标设为t，过P作切线l，l将正方形OABC截成两部分，其中正方形左下部分的面积设为f(t)，求f(t)的解析式，并求出f(t)的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知点A(1,0)，B(－2,0)，动点M满足∠MBA＝2∠MAB(∠MAB≠0°).
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)设直线l：y＝x＋b，若轨迹E上存在不同的两点C、D关于直线l对称，是否可能使得A、B、C、D四点共圆？若有，求实数b的值，否则说明理由.
22.(本小题满分14分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn＝3an＋8n2－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an－2)an(an＋2)，求证：＋＋…＋＜.
抚州市2009届高三统一考试数学试题(理)
1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.D 8.B 9.B 10.D 11.B 12.D
13.－3 14.7 15.①④ 16.3
17.解：(1)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.
又A＞0，ω＞0,0＜φ＜，∴f(x)的最大值为A＋1，最小值为1.
由f(x)的最大值与最小值的差为2，∴A＝2.
由f(x)过点(0,2)，f(0)＝cos 2φ＋2＝2，∴φ＝，
则T＝4π＝，∴ω＝，f(x)＝cos(x＋)＋2＝2－sinx.6分
(2)∵B＝，∴b＝f(B)＝2－sin(?)＝.
设A，C所对的边分别为a，c，由余弦定理得＝a2＋c2－2accos，＋ac＝a2＋c2≥2ac，ac≤，
当且仅当a＝c＝时等号成立，△ABC的面积S＝acsin≤.12分
18.解：(1)某应聘者能被聘用的概率为p0＝1－(1－)(1－)(1－p)＝＋p.4分
(2)在4位应聘者中恰好有2人被聘用的概率为CP?(1－P0)2，
由于p0(1－p0)≤()2，当p0＝1－p0，即p0＝时，p0(1－p0)取最大值，
此时＋p＝，解得p＝.7分
(3)4位应聘者中被聘用人数ξ的取值为0,1,2,3,4，
P(ξ＝0)＝C()4()0＝，P(ξ＝1)＝C()3()1＝，
P(ξ＝2)＝C()2()2＝，P(ξ＝3)＝C()1()3＝，
P(ξ＝4)＝C()0()4＝，
其分布列为
ξ
0
1
2
3
4
p
由于ξ服从二项分布，所以Eξ＝2.12分
19.解：(1)连AQ，∠PQA是PQ与平面ABCD所成角，AQ＝2，BQ＝2，即Q是BC的中点，过Q作QH⊥AD于H，则QH⊥平面PAD，过Q作QM⊥PD，连MH，则∠QMH为所求二面角的平面角.
在Rt△PAD中，＝⇒MH＝＝＝，
所以tan∠QMH＝＝＝，
从而所求二面角的大小为arctan .6分
(2)由于Q是BC的中点，可得DQ⊥PQ，
⇒面PAQ⊥面PDQ，
过A作AG⊥PQ于G，则AG为点A到平面PQD的距离.
AG＝＝＝.12分
另解：分别以AD，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由条件知Q是BC的中点，面PAD的一个法向量是＝(0,2,0).
又D(4,0,0)，Q(2,2,0)，P(0,0,4)，
故＝(0,2,0)，＝(－4,0,4)，
设面PDQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒由此可取n＝(1,1,1)，
从而(1)cos〈，n〉＝＝＝.
(2)面PDQ的一个法向量为n＝(1,1,1)，＝(2,2,0)，
故点A到平面PDQ的距离d＝＝＝.
20.解：(1)设f(x)＝(k为非零常数)，易得f(x)＝(1≤x≤2).3分
(2)f′(x)＝－，f′(t)＝－，点P(t，)，∴l：y－＝－(x－t)，即l：y＝－x＋.l在x轴和y轴上的截距分别是2t和.
①当＞3，即t＜时，2t＜＜3，此时f(t)＝＝(8t－3t2).
②当≤3，且2t≤3即≤t≤时，f(t)＝?2t?＝4.
③当2t＞3，即t＞时，此时＜3，f(t)＝＝(4t－3).
故f(t)＝8分
当1≤t＜时，f′(t)＝(4－3t)＞0，f(t)为增函数；当＜t≤2时，f′(t)＝＜0，f(t)为减函数，且f(t)在[1,2]上连续，所以f(t)max＝4.12分
21.解：(1)设∠MAB＝θ，M(x，y)，则∠MBA＝2θ，tan θ＝，tan 2θ＝，tan 2θ＝⇒x2－＝1(x＜－1).4分
(2)设CD：y＝－3x＋m，
⇒6x2－6mx＋m2＋3＝0.
由于此方程在(－∞，－1)内有两个不同的根，易求得m＜－.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，并设点C在直线l的上方，则
y1＝－3x1＋m，y2＝－3x2＋m.
假设A，B，C，D四点共圆，由于∠CBA＝2∠CAB，∠DBA＝2∠DAB，
故∠CBD＝2∠CAD，由此∠CAD＝60°.
tan 60°＝＝.
⇒＝
⇒＝
⇒＝－⇒(x1－x2)2＝(m＋6)2
⇒m＝－＜－.
∴x1＋x2＝m＝－，y1＋y2＝－3(x1＋x2)＋2m＝，从而CD中点为(－，)，代入直线l的方程得＝－×＋b⇒b＝.
故存在b＝满足题设条件.12分
22.解：(1)令n＝1得a1＝5.
由4Sn＝3an＋8n2－3
得4Sn－1＝3an－1＋8(n－1)2－3
两式相减得an＝－3an－1＋16n－8.
设此式可写成an－pn－q＝－3[an－1－p(n－1)－q]，可解得p＝4，q＝1，
于是an－4n－1＝(－3)n－1(a1－4×1－1)，而a1＝5，故有an＝4n＋1.6分
(注：也可以采取先猜，后用数学归纳法证的办法得出通项)
(2)由bn＝(4n－1)(4n＋1)(4n＋3)有
＝＝(－)
＝(－)
＜(－).
＋＋…＋＜[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝[－]＜＝.14分