2009年抚州市高三年级教学质量检测
数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则A∩(
UB)等于
A.{1,3} B.{2,4}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
2.命题p：|x|≥1，命题q：x2＋x－6≥0，则“非p”是“非q”成立的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，其导函数的图象过二、三、四象限，则函数f(x)的图象不经过
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.运载“神舟七号”飞船的“长征2号”火箭在点火1分钟内飞行了2 km，以后每分钟飞行的路程增加2 km,15分钟后，火箭与飞船分离，此时飞船距离发射点大约是
A.30 km B.215km C.240 km D.2(215－1)km
5.如图在正方体ABCD―A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AD，CC1上，若AF⊥A1E，则
A.AE＝ED B.AE＝C1F
C.AE＝CF D.C1F＝CF
6.如图，A，B，C，D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP，BCRQ，CDSR近似于正方形，A，B，C，D采矿量之比为6∶2∶3∶4，且运矿费与路程和采矿量的乘积成正比.现从P，Q，R，S
中选一个中转站，使中转费用最少，应选
A.P点 B.Q点
C.R点 D.S点
7.已知直线l1：x＋y＋2＝0和直线l2：x＋y＝0，设点P到l1与l2的距离分别为d1与d2，记d＝max{d1，d2}，那么当d≥时点P所在的区域是
A B C D
8.若AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM?kBM等于
A.－ B.－ C.－ D.－
9.若△ABC三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知m＝(a＋b，c)，n＝(a－b，c－a)，若|m＋n|＝|m－n|，则角B的大小
A.30° B.60° C.90° D.120°
10.将1、2、3、4填入4×4方格中，要求每行、每列都没有重复数字.右图是一种填法.不同的填法共有
A.24种 B.144种
C.216种 D.432种
11.在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点p(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S关于t的函数图象可能为
12.x、y、z均为正实数，且4xy＋z2＋2yz＋2xz＝8，则x＋y＋z的最小值为
A.8 B.4 C.2 D.2
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.
13.已知函数f(x)＝，则f－1(－)的值是 .
14.在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 .
15.给出下列命题：
①已知A，B是非空数集，若x∉A，且x∉B，那么A⊆B；
②一个球与棱长为的正方体的所有棱都相切，则此球的体积为；
③已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则方程f(x)＝0在(1,2)内必有实根；
④圆(x－2)2＋y2＝2外的点M对该圆的视角为90°时，则点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4.
其中正确的命题序号是 .
16.在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
②对任意a∈R，a*0＝a；
③对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c.
则函数f(x)＝x*(x＞0)的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图象过点(0,2)，f(x)的最小正周期为4π，且最大值与最小值的差为2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在△ABC中，B＝，其对边为b，若f(B)＝b，求△ABC的最大面积.
18.(本小题满分12分)
某公司通过三次测试来聘用职员，一旦某次测试通过就聘用，否则就一直测试到第三次为止，现有4人前来应聘，假设每位应聘者三次通过测试的概率都依次为，，p，每位应聘者被聘用的概率为p0.
(1)求某应聘者能被聘用的概率(结果用p表示)；
(2)若4位应聘者中要求恰有2人被聘用的概率不低于恰有3位被聘用的概率，求p的取值范围.
19.(本小题满分12分)
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，Q是BC边上的一点，又PA⊥平面ABCD，且PA＝4，直线PQ与平面ABCD所成角的正切值为.
(1)求二面角Q―PD―A的大小；
(2)求点A到平面PDQ的距离.
20.(本小题满分12分)
已知a1＝b1＝1，an＋1＝bn＋n，bn＋1＝an＋(－1)n，n∈N*.
(1)求a3，a4的值，并求a2n－1和a2n；
(2)设Sn＝＋＋…＋，求S2009.
21.(本小题满分12分)
已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足?＝||?||－4.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点B的直线l与轨迹C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点F，使?为常数？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.
(1)当a＝－时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；
(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在x∈[ －1,1]上恒成立，求b的取值范围.
抚州市2009届高三统一考试数学试题(文)
1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.D 8.B 9.B 10.D 11.B 12.D
13.－3 14.7 15.②④ 16.3
17.解：(1)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.
又A＞0，ω＞0,0＜φ＜，∴f(x)的最大值为A＋1，最小值为1.
由f(x)的最大值与最小值的差为2，∴A＝2.
由f(x)过点(0,2)，f(0)＝cos 2φ＋2＝2，∴φ＝，
则T＝4π＝，∴ω＝，f(x)＝cos(x＋)＋2＝2－sinx.6分
(2)∵B＝，∴b＝f(B)＝2－sin(?)＝.
设A，C所对的边分别为a，c，由余弦定理得＝a2＋c2－2accos，＋ac＝a2＋c2≥2ac，ac≤，
当且仅当a＝c＝时等号成立，△ABC的面积S＝acsin≤.12分
18.解：(1)某应聘者能被聘用的概率为p0＝1－(1－)(1－)(1－p)＝＋p.4分
(2)在4位应聘者中恰好有2人被聘用的概率为CP?(1－P0)2，
恰有3位被聘用的概率为Cp?(1－p0)1，依题意Cp?(1－p0)2≥Cp?(1－p0)1，解得p0≤，
即＋p≤⇒0≤p≤.12分
19.解：(1)连AQ，∠PQA是PQ与平面ABCD所成角，AQ＝2，BQ＝2，即Q是BC的中点，过Q作QH⊥AD于H，则QH⊥平面PAD，过Q作QM⊥PD，连MH，则∠QMH为所求二面角的平面角.
在Rt△PAD中，＝⇒MH＝＝＝，
所以tan∠QMH＝＝＝，
从而所求二面角的大小为arctan .6分
(2)由于Q是BC的中点，可得DQ⊥PQ，
⇒面PAQ⊥面PDQ，
过A作AG⊥PQ于G，则AG为点A到平面PQD的距离.
AG＝＝＝.12分
另解：分别以AD，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由条件知Q是BC的中点，面PAD的一个法向量是＝(0,2,0).
又D(4,0,0)，Q(2,2,0)，P(0,0,4)，
故＝(0,2,0)，＝(－4,0,4)，
设面PDQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒由此可取n＝(1,1,1)，
从而(1)cos〈，n〉＝＝＝.
(2)面PDQ的一个法向量为n＝(1,1,1)，＝(2,2,0)，
故点A到平面PDQ的距离d＝＝＝.
20.解：(1)an＋1＝an－1＋(－1)n－1＋n，于是a3＝a1＋2－1＝2，a2n－1＝a2n－3－1＋2n－2(n≥2)，
∴a2n－1＝a2n－3＋2n－3(n≥2).
…………
a3＝a1＋1
a2n－1＝a1＋＝n2－2n＋2.2分
而a2＝b1＋1＝2
a4＝b3＋3＝a2＋4
…………
a2n＝a2n－2＋2n
∴a2n＝a2n－2＋2n
∴a2n＝a2＋＝n2＋n.8分
(2)Sn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－
∴S2009＝1－＝.12分
21.解：(1)设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，依题意有(－2－x)(2－x)＋y2＝?，化简得x2－y2＝2.4分
(2)假设存在定点F(m,0)，使?为常数.
当直线l与x轴不垂直时，设l：y＝k(x－2)，
⇒(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
依题意k2≠1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
于是?＝(x1－m，y1)(x2－m，y2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋4k2＋m2
＝＋m2－4m＋2.8分
要使?是与k无关的常数，当且仅当m＝1，此时?＝－1.
当直线l⊥x轴时，可得M(2，)，N(2，－)，若m＝1，则?＝(1，)(1，－)＝－1.
所以在x轴上存在定点F(1,0)，使?为常数.12分
22.解：f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4).
(1)当a＝－时，f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝2x(2x－1)(x－2)，令f′(x)≥0，得0≤x≤或x≥2，所以f(x)的增区间为[0，]与[2，＋∞).4分
(2)f′(x)＝x(4x2＋3ax＋4)，显然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根，为使f(x)仅在x＝0处有极值，4x2＋3ax＋4≥0必须恒成立，即有Δ＝9a3－64≤0，解得a∈[－，].8分
(3)由条件a∈[－2,2]知Δ＝9a2－64＜0，从而4x2＋3ax＋4＞0恒成立.
当x＜0时f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.
因此f(x)在区间[－1,1]上的最大值为max{f(－1)，f(1)}.
为使对任意a∈[－2,2]，f(x)≤1在x∈[－1,1]上恒成立，当且仅当⇒在a∈[－2,2]上恒成立，解得b≤－4，故b的取值范围是(－∞，－4].