江苏省江宁高级中学2009届高三迎一模联考
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1．命题“
”的否定是 ★ ．
2．已知复数
，
（
是虚数单位），若
为纯虚数，则实数
＝__★_
3．直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是__★
4. 执行右边的程序框图，若
，则输出的
★ ．
5．已知点A、B、C满足
，
，
，则
的值是_____★________.
6．若直线
过点
，则以坐标原点
为圆心，
长为半径的圆的面积的最小值是 ★
．
7．已知抛物线
的准线与双曲线
的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 ★ .
8．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则
的概率为 ★
9．设等差数列
的公差为
，若
的方差为1，则=__★_
10．已知函数
在定义域内是增函数，则实数
的取值范围为_★_
11．已知
、
是椭圆
+
=1的左右焦点，弦
过F1，若
的周长为
，则椭圆的离心率为 ★ ．
12．实数
满足
，且
，则
★
13．已知一个正三棱锥P－ABC的主视图如图所示，若AC＝BC＝
，PC＝
，则此正三棱锥的全面积为_____★____
14．已知命题：“在等差数列中，若
，则
为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_★___
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在△ABC中，
分别是角A，B，C的对边，
，
．
（Ⅰ）求角
的值;
（Ⅱ）若
，求△ABC面积．
16．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．
17．已知数列
的前n项和为
，且
．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若
，
，求证数列
是等比数列，并求数列
的前
项和
．
18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t（件），价格近似满足
（元）．
（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
19. 已知⊙过点
,且与⊙
:
关于直线
对称.
（Ⅰ）求⊙的方程；
（Ⅱ）设
为⊙上的一个动点,求
的最小值；
（Ⅲ）过点
作两条相异直线分别与⊙相交于
,且直线
和直线
的倾斜角互补, 为坐标原点,试判断直线
和是否平行?请说明理由.
20．已知函数
图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若方程
在
内有两个不等实根，求的取值范围（其中
为自然
对数的底，
）；
（Ⅲ）令
，如果
图象与
轴交于
，AB中点为
，求证：
．
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数学试题（附加题）
21．选修4―2 矩阵与变换
已知矩阵
，求
特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2．
22．已知直线
和圆
，判断直线和圆的位置关系．
23．如图，四棱锥
中，底面ABCD是矩形，
⊥平面ABCD，且
，
，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角
的平面角为
．
24．已知方程
为常数。
（Ⅰ）若
，
，求方程的解的个数
的期望；
（Ⅱ）若
内等可能取值，求此方程有实根的概率．
江苏省江宁高级中学2009届高三迎一模联考
1．
2．
3．a＝－2． 4. 
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．0 13．
14．18
15．解：（Ⅰ）由
得
，
，
3分
，
5分
又
，∴ 
。
7分
（Ⅱ）由
可得，
，
9分
由
得，
,
12分
所以，△ABC面积是
14分
17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴SABCD＝
．……………… 3分
则V＝
． ……………… 5分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC． ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC． ……… 9分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM 
平面PAB，PA
平面PAB，
∴EM∥平面PAB． ……… 12分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB． ……… 14分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点． ……12分
∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
17．解：（Ⅰ）n≥2时，
． ………………… 4分
n＝1时，
，适合上式，
∴
．
………………… 5分
（Ⅱ）
，
．
………………… 8分
即
．
∴数列
是首项为4、公比为2的等比数列． ………………… 10分
，∴
．……………… 12分
Tn＝
＝
．
………………… 14分
18．解：（Ⅰ）
…… 4分
＝
…………………… 8分
（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，
在t＝5时，y取得最大值为1225； …………………… 11分
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600． …………………… 14分
（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；
第20天，日销售额y取得最小为600元． …………………… 15分
19. 解:(Ⅰ)设圆心
,则
,解得
…………………(3分)
则圆的方程为
,将点
的坐标代入得
,故圆的方程为
…………(5分)
(Ⅱ)设
,则,且
…………………(7分)
=
=
,所以
的最小值为
(可由线性规划或三角代换求得)
…………(10分)
(Ⅲ)由题意知, 直线
和直线
的斜率存在,且互为相反数,故可设
,
,由
,得
……………………(11分)
因为点的横坐标
一定是该方程的解,故可得
………………………
(13分)
同理,
,所以
=
所以,直线
和
一定平行…………………………………………………………………(15分)
20．解：（Ⅰ）
，
，
．
∴
，且
． …………………… 2分
解得a＝2，b＝1． …………………… 4分
（Ⅱ）
，令
，
则
，令
，得x＝1（x＝－1舍去）．
在
内，当x∈
时，
，∴h(x)是增函数；
当x∈
时，
，∴h(x)是减函数． …………………… 7分
则方程
在内有两个不等实根的充要条件是
……10分
即
． …………………… 12分
（Ⅲ）
，
．
假设结论成立，则有
①－②，得
．
∴
．
由④得
，
∴
．即
．
即
．⑤
…………………… 14分
令
，
（0＜t＜1)，
则
＞0．∴
在0＜t＜1上增函数．
，∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴
．
……………………………16