南通市2009届高三第二次调研测试
数 学 试 题
必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则
▲
.
2. 若复数z满足zi=2+i（i是虚数单位），则z= ▲ .
3. 已知幂函数
的图象过点
，则
= ▲
.
4. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全
等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，
那么这个几何体的表面积为 ▲ .
5. 设x0是方程8－x=lgx的解，且
，则k＝ ▲
.
6. 矩形ABCD中，
. 在矩形内任取一点P，则
的概率为 ▲
.
7. △ABC中，
，
，则
的最小值是 ▲
.
8. 已知
，
，则
等于 ▲
.
9. 右图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，
若x依次取数列
（
，n≤2009）的
项，则所得y值中的最小值为 ▲ .
10.
已知双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，
且PF1⊥PF2，P F1
P F2 =4ab，则双曲线的离心率是 ▲
.
11. 设函数f(x)=ax+b，其中a，b为常数，f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f [fn(x)]，n＝1，2，….
若f5(x)=32x+93, 则ab＝ ▲ .
12.
函数f(x)=
的值域为 ▲
.
13. 设函数
, A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为
的点，向量
，向量i=（1，0），设
为向量
与向量i的夹角，则满足
的最大整数n是 ▲
.
14. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2
上，且
，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为 ▲
.
二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. （本题满分14分）
某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
女生
523
x
y
男生
487
490
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.
（1）问高二年级有多少名女生？
（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少
名学生？
16. （本题满分14分）
如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
AB=
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面体PCEF的体积.
17 . （本题满分15分）
△ABC中，角A的对边长等于2，向量m=
，向量n=
.
（1）求m?n取得最大值时的角A；
（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.
18. （本题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且
OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的
椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与AB交于
点E.
（1）求证：
；
（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，
求直线l的方程；
（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，
且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的
方程．
19. （本题满分16分）
已知函数
的导数为
. 记函数
k为常数）.
（1）若函数f(x)在区间
上为减函数，求
的取值范围；
（2）求函数f(x)的值域.
20．（本题满分16分）
设{an}是等差数列，其前n项的和为Sn.
（1）求证：数列
为等差数列；
（2）设{an}各项为正数，a1=
，a1≠a2，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；
②
. 求集合
的元素个数；
（3）设bn=
(a为常数，a>0，a≠1，a1≠a2)，数列{bn}前n项和为Tn. 对于正整数c，
d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 试比较(Tc)-1+(Tf)-1与(Td)-1+(Te)-1的大小.
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线
相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证： 
.
B. 选修4－2：矩阵与变换
已知
, 求矩阵B.
C. 选修4－4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy中，动圆
（
R）的
圆心为
，求
的取值范围.
D．选修4－5：不等式证明选讲
已知函数
. 若不等式
（a¹0, a、bÎR）恒成
立，求实数x的范围.
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱
中，P是侧棱
上
的一点，
.
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；
（2）在线段
上是否存在一个定点
，使得对任意的m，
⊥AP，并证明你的结论.
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数
是一个随机变量，它的
分布列为：
；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元.
如销售不出，则每台每月需花保管费100元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使
月平均收益最大？
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必做题部分
【填空题答案】
1．{2，4}; 2．1－2i ;
3．
；
4．
； 5．7；
6．
； 7．
；
8．
； 9．17； 10．
；
11．6； 12．
；
13．3；
14．18
．
二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. （本题满分14分）
某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
女生
523
x
y
男生
487
490
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.
（1）问高二年级有多少名女生？
（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少
名学生？
【解】（1）由题设可知
， 所以x=510. ………………………6分
（2）高三年级人数为y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分
现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：
名.
………………………12分
答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．……………14分
16. （本题满分14分）
如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
AB=
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面体PCEF的体积.
【证明】（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，
所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°. …………………………2分
同理可证∠APD=45°.
所以∠DPC=90°，即PC⊥PD. …………………………3分
又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. ………………………4分
因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分
【解】（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以DE//CF. 又DC⊥CF，
所以
……………………… 10分
在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则
PQ//BC，PQ=BC=
因为BC⊥CD，BC⊥CF，
所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，
亦即P到平面PCEF的距离为PQ=
………………………14分
（注：本题亦可利用
求得）
17 . （本题满分15分）
△ABC中，角A的对边长等于2，向量m=
，向量n=
.
（1）求m?n取得最大值时的角A的大小；
（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.
【解】（1）m?n＝2
－
. …………………3分
因为 A＋B＋C
，所以B＋C－A，
于是m?n＝
＋cosA＝－2
＝－2
.……………5分
因为
，所以当且仅当＝
，即A＝
时，m?n取得最大值.
故m?n取得最大值时的角A＝.
…………………………7分
（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
由余弦定理，得 b2＋c2－a2＝2bccosA， …………………………9分
即bc＋4＝b2＋c2≥2bc， ……………………… 11分
所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号. ……………………… 12分
又S△ABC＝bcsinA＝
bc≤
.
当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为. ………………………15分
18. （本题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且
OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的
椭圆在
矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与AB交于
点E.
（1）求证：
；
（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，
求直线l的方程；
（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，
且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M
的方程．
【解】题设椭圆的方程为
.
…………………………1分
由
消去y得
. …………………………2分
由于直线l与椭圆相切，故△＝(－
化简得.
①
…………………………4分
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），
于是OB的中点为
.
…………………………5分
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，
即
，亦即
.
②
…………………………6分
由①②解得
，故直线l的方程为
…………………………8分
（3）由（2）知
.
因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为
.………9分
因为圆M在矩形及其内部，所以
④ ……………………… 10分
圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以
，即
.
………………………12分
代入④得
即
………………………13分
所以圆M面积最大时，
，这时，
.
故圆M面积最大时的方程为
………………………15分
19. （本题满分16分）
已知函数
的导数为
. 记函数
k为常数）.
（1）若函数f(x)在区间
上为减函数，求
的取值范围；
（2）求函数f(x)的值域.
【解】（1）因为f(x)在区间上为减函数，
所以对任意的
且
恒有
成立.
即
恒成立. …………………………3分
因为
，所以
对且时，恒成立.
又
<1，所以
…………………………6分
（2）
.
…………………………7分
下面分两种情况讨论：
（1）当
时，
是关于x的增函数，值域为
…………………………9分
（2）当
时，又分三种情况：
①当
时，因为
，所以
即
.
所以f(x)是减函数，
.
又
，
当
，所以f(x)值域为
. ………………………10分
②当k=1时，
，
且f(x)是减函数，故f(x)值域是
.
………………………12分
③当
时，
是增函数，
，
.
下面再分两种情况：
（a）当
时，
的唯一实根
，故
，
是关于x的增函数，值域为；
（b）当
时，的唯一实根
，
当
时，；当
时，
；
所以f(x)
.
故f(x)的值域为
.
………………………15分
综上所述，f(x)的值域为
；（）；
（
）；（）.
………………………16分
20．（本题满分16分）
设{an}是等差数列，其前n项的和为Sn.
（1）求证：数列
为等差数列；
（2）设{an}各项为正数，a1=
，a1≠a2，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；
②
. 求集合
的元素个数；
（3）设bn=
(a为常数，a>0，a≠1，a1≠a2)，数列{bn}前n项和为Tn. 对于正整数c，
d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 试比较(Tc)-1+(Tf)-1与(Td)-1+(Te)-1的大小.
【证】（1）{an}为等差数列，设其公差为
，则
，于是
（常数），
故数列
是等差数列.
…………………………3分
【解】（2）因为{an}为等差数列，所以是等差数列，
于是可设
为常数)，从而
.
因为m+p=2n，所以由两边平方得
，即
，
亦即
，………………………4分
于是
，两边平方并整理得
，即
.
…………………………6分
因为m≠p，所以
，从而
，而a1=，所以
.
故
.
…………………………7分
所以
.
因为15有4个正约数，所以数对（x，y）的个数为4个.
即集合中的元素个数为4. ………………………9分
（3）因为
（常数），
所以数列{bn}是正项等比数列.
因为a1≠a2，所以等比数列{bn}的公比q≠1. ………………………10分
（解法一）
①
. ②
因为
，所以要证②，只要证
， ③…………………13分
而③
. ④
④显然成立，所以③成立，从而有.…………………16分
（解法二）注意到当n>m时，
. ……………………12分
于是
. ……………………14分
而
，故. ……………………16分
（注：第（3）问只写出正确结论的，给1分）
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线
相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证： 
.
【证明】连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°，所以A、D、E、F四点共圆.
所以∠DEA=∠DFA. …………………………10分
B. 选修4－2：矩阵与变换
已知
, 求矩阵B.
【解】设
则
， …………………………5分
故
………………………10分
C. 选修4－4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy中，动圆
（
R）的
圆心为
，求
的取值范围..
【解】由题设得
（
为参数，R）.
…………………………5分
于是
，
所以 
.
………………………10分
D．选修4－5：不等式证明选讲
已知函数
. 若不等式
对a¹0, a、bÎR恒成立，
求实数x的范围.
【解】 由|且a¹0得
.
又因为
，则有2
.
…………………………5分
解不等式 
得 
……………………… 10分
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱
中，P是侧棱
上
的一点，
.
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；
（2）在线段
上是否存在一个定点
，使得对任意的m，
⊥AP，并证明你的结论.
【解】（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).
所以
又由
的一个法向量.
设
与
所成的角为
，
则
=
，解得
.
故当 违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com