2009年高考数学预测卷二(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的
1.已知集合P={(x，y)||x|+|y|=1}，Q={(x，y)|x2+y2≤1}，则
A.P
Q
B.P=Q
C.P
Q
D.P∩Q=Q
2. 
的近似值（精确到小数后第三位）为
A.726.089
B.
3. 已知f(x)=sin(x+
)，g(x)=cos(x－)，则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同， B.与g(x)的图象关于y轴对称，
C.向左平移个单位，得到g(x)的图象， D.向右平移个单位，得到g(x)的图象
4. 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则
A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此
C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此
D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同
5. 已知函数f (x)（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若
，则
A
B
C
D前三个判断都不正确
6．过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若
，
，
，则
的值为
A．4
B．
7．设函数
，若
，则下列不等式必定成立的是
A．
B．
C．
D． 
8．已知等比数列
的首项为8，
是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为
A． S1 B． S
9．函数
的图象如图所示，则导函数
的图象大致是
 |
10. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点
、
是它的焦点，长轴长为
，焦距为
，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是
A．
B．
C．
D．以上答案均有可能
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，
则实数a的取值范围为_________.
12．如右图所示的几何体ABCDEF中，ABCD是平行四边形且AE∥CF，
六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是____________
13．为等差数列的前n项和，若
，则
=
．
14．一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为
15．a、b、c、d均为实数，使不等式
和
都成立的一组值（a，b，c，d）是
．（只要写出适合条件的一组值即可）
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题满分12分）
已知函数
的定义域为
，值域为
．试求函数
（
）的最小正周期和最值．
17．（本小题满分12分）
两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知 , 是方程x2－5x + 6 = 0
的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．
(1) 求 p1、p2的值；
(2) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
(3) 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
18．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P―ABCD的底面是直角梯形，
，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面
底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求证：平面
平面PAB.
19．（本小题满分12分）
P是以
为焦点的双曲线C：
（a＞0，b＞0）上的一点，已知
=0，
．
（1）试求双曲线的离心率
；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当
，
= 0，求双曲线的方程．
20．（本小题满分13分）
设数列
的各项都是正数, 且对任意
都有
记
为数列的前n项和
(1) 求证: 
；(2)
求数列的通项公式；
(3) 若
(
为非零常数, ), 问是否存在整数, 使得对任意,
都有
21．（本小题满分14分）
设
是定义在[-1，1]上的偶函数，
的图象与的图象关于直线
对称，且当x∈[ 2，3
] 时，
222233．
（1）求的解析式；
（2）若在
上为增函数，求
的取值范围；
（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线
上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．解析：答案A．集合P表示正方形，集合Q表示圆面，作出它们的图形即可.
评析：利用二个集合间的几何意义借助数形结合思想，是本题考察的重点．
2．解析：
．
答案：A．
评析：本题是考察二项式展开式的应用，难点是项数的舍弃．
3．解析：f(x)的图象向右平移
个单位，得sin［(x－)+］=sinx，又g(x)=cos(x－=cos(－x)=sinx．答案：D．
评析：本题是考察三角函数的等价变换与图象的平移．
4．答案A.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是
，故选A.
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域．
5．解析：．∵
可视为曲线上两点
、
的斜率，作图易得
．选C．
评析：本题是考察转化与数形结合的思想，解题的关键是将函数与不等式问题转化为解析几何问题．
6．解析：取△ABC为正三角形易得
＝3．选B．
评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．
7．解析：易知
，且当x∈
时，
为增函数．又由
，得
，故 
|，于是
．选B．
评析：本题考查运用奇函数、偶函数与增函数的概念与性质解决问题．
8．解析：显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a
，显然S3=36≠8(1+q+q2)，矛盾．只可能是S3算错了，此时由a2=12得
，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．选C．
评析：本题考查等比数列的基本概念与性质和学生推理的能力．
9．解析：答 由
的图象及
的意义知，在x＞0时，为单调递增函数且
＜0；在x＜0时，为单调递减函数且＜0．选D．
评析：本题考查学生灵活运用导数知识与观察问题的能力．
10．解析：答⑴静放在点
的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是
，则选B；⑵静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是
，则选C；⑶静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是
，则选A．
于是三种情况均有可能，故选D．
评析：本题考察学生是否掌握光学的有关性质与解几相关的性质以及分类讨论的重要思想方法．
11．分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．
解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图
由
，得
∴
或
.
即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为
.
评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．
解析：答：39．每个三棱锥中有三对异面直线，则异面直线的对数是3(C46－2)＝39．
12．评析：本题把排列组合和立体几何挂起钩来，考生则必须对立体几何的有关知识有所了解和掌握．
13．解析：答 由
，即 
，得
．
，
．故
=4．
评析：本题采用基本量法来作，但显然运算量会大上许多，本题可用特殊法处理．
14．解析：．设长分割成x列，宽分割成y行，共分割成z块，
则
z=x?y
当x=39，y=18时，
．
评析：本题主要考查线性规划知识以及利用数形结合法解决问题，特别是已知区域求最优解是学生易错的地方．
15．解析：本题为开放题，只要写出一个正确的即可，如（2，1，－3，2）．
评析：本题为开放题，考察学生对知识灵活处理问题的能力．
16．解析：
…………………………
当
＞0时，
，
解得
，………………………………………………………………
从而，
，
T=
，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………
当m＜0时， 解得
，………………………………………………
从而，
，T=，最大值为
，
最小值为
．……………………………………………………………………
评析：本题考查三角函数的运算．考查的知识点有和差化积、周期与三角函数
值域的求法、分类讨论的思想方法．近几年三角运算一直是考试所要求的基本题型之一，本题就是基于这一要求而制定的．
17．解析：(1) 由题意可知 x甲 ~ B(5, p1)，
∴ Dx甲 = 5p1 (1－p1) = Þ p12－p1 + = 0 Þ p1 = ．2分；又 ?= 6，∴ p2 = ． 3分
(2) 两类情况：共击中3次概率
C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 1 ( ) 1 + C ( ) 1 ( ) 1×C ( ) 2 ( ) 0 = ；
共击中4次概率C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 2 ( ) 0 = ． 6分
所求概率为 + = ． 8分
(3) 设事件A, B分别表示甲、乙能击中．∵ A, B互相独立（9分），∴ P(`A?`B ) = P(`A ) P(`B ) = (1－P(A) )(1－P(B) ) = (1－p1)(1－p2) = ×= （11分），∴ 1－P(`A?`B ) = 为所求概率． 12分
评析：这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了，重点考查了分类讨论的数学思想，体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能力．该题仍然是常规题，要求考生耐心细致，审题能力较强，并善于利用材料进行分析说明．
18．方法一：（I）证明：
，又
平面
平面ABCD，平面
平面ABCD＝BC，
平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中，可得
，即
在平面ABCD内的射影为AO，
……4分
（II）解：
，且平面平面ABCD
平面PBC， 
平面PBC，
为二面角P―DC―B的平面角 ……6分
是等边三角形
即二面角P―DC―B的大小为
…8分
（III）证明：取PB的中点N，连结CN，
①
，且平面平面ABCD，
平面PBC ……10分
平面PAB 
平面平面PAB ②
由①、②知
平面PAB…………..10分
连结DM、MN，则由MN//AB//CD，
，
得四边形MNCD为平行四边形，
，
平面PAB．
平面PAD 平面
平面PAB ……………….12分
方法二：取BC的中点O，因为
是等边三角形，
由侧面底面ABCD 得
底面ABCD ……1分
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O―xyz……2分
（I）证明：
，则在直角梯形中，
在等边三角形PBC中，
……3分
，即
…4分
（II）解：取PC中点N，则
平面PDC，显然
，且
平面ABCD
所夹角等于所求二面角的平面角 ……6分
，二面角
的大小为 ……8分
（III）证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为
又
……10分
，
即
平面PAB，平面平面PAB ……12分
评析：本题考察的空间中的线线关系、面面关系以及二面角的求法关系是立体几
何中的最主要关系，熟悉它们的判定和性质是高考复习的重点，本题重在考查学生的运算能力、空间想象能力．
19．解（1）∵
，
，∴
，
．
∵
=0，∴(
．……………………4分
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为
，渐近线方程为
．…5分
设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．
∵
，∴
． ∵
，∴
………8分
∵点P在双曲线上，∴
．
化简得，
．∴
．∴ 
．∴双曲线的方程为
…12分
评析：本题考查向量与双曲线的有关内容．近几年来向量与其他知识互相渗透成为一种时尚，基于此特命此题．本题考查学生运用圆锥曲线定义灵活解题的能力、向量知识、运算能力．
20.证明：(1)在已知式中, 当
时, 
∵
∴
…(1分)
当
时, 
①
②
由①－②得, 
………(3分)
∵
∴
即
∴适合上式,
………(5分)
(2)由(1)知, 
③
当时, 
④
由③－④得,
……(8分)
∵
, ∴
, 数列
是等差数列,首项为1,公差为1, 可得
…(10分)
(3)
∵, ∴
………(11分)
∴
,
∴
⑤………(12分)
当
时, ⑤式即为
⑥
依题意, ⑥式对
都成立, 当
时,
⑤式即为
⑦依题意, ⑦式对都成立,
∴
………(13分) ∴
又
,
∴存在整数
, 使得对任意
, 都有
………(13分)
21．解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)=
-2ax+4x3；当x∈
时，f(x)=f(-x)=2ax-4x3，
∴
………………………………………4分
（2）由题设知，
＞0对x∈恒成立，即恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞(6x2)max=6．………………………8分
（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值．
令=
．…10分 若
∈
，即0＜a≤6，则
，
故此时不存在符合题意的
；
若＞1，即a＞6，则
在上为增函数，于是
．
令
评析：本题通过函数的知识来切入到导数，是在这两个重要知识的交汇处命题，意在考查学生的逻辑思维能力与推理能力，函数及导数的应用是数学的难点，也是考得最热的话题之一，也是本套试卷的把关题，对学生的要求较高．