2008―2009学年度
湖北省补习学校联合体大联考
数 学 试 题 （理科）
命题学校：汉川补习高中 命题人： 程为和 祁春光
审题学校：黄陂补习学校 审题人： 袁 魁 陈炳润
考试时间：
本试卷共21题，满分150分.考试用时120分钟.
★ 祝 考 试 顺 利 ★
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡指定位置.
2.考生将答案都直接涂(答)在答题卡上,答在试卷上无效.
3.解答题的答案不得超出指定的边框.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．命题
，命题
当
时，
对任意
恒成立，则
（ ）
A．“
”为假命题； B．“
” 为真命题；
C．“
“为假命题； D．“
”为真命题
2.
是等差数列
的前n项和，当首项
和公差d变化时，
是一个定值，则下列各数中为定值的是 （ ）
A. 
B.
C.
D.
3.若函数
的图像关于点
对称，则函数
是（ ）
A.奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
4.把函数
的图象上所有点先按向量
平移，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A.
， B.
，
C.
， D.
，
5．函数
图象如图，则函数
的单调递增区间为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
是连续函数，则实数
的值是 （ ）
A. 
B.
C.
D. 
7．已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D. 
8. 如果
的三个内角的余弦值分别是
的三个内角的正弦值，则（ ）
A. 与都是锐角三角形；
B. 是钝角三角形，是锐角三角形；
C. 是锐角三角形，是钝角三角形；
D. 与都是钝角三角形。
9. 已知点P(x,y)满足
，则点P(x,y)所在区域的面积为
( )
A．36π B．32π C．20π D．16π
10. 函数
在定义域R内可导，若
，且当
时，
，设
。则( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡相应位置上.
11．过点
的直线与抛物线
交于
两点，且
则此直线的方程为_________。
12.已知函数
的图象如图，则满足
的
的取值范围为
。
13．各项均不为0的数列{
}满足
，则
。
14．
___________。
15．已知命题
①函数
在
上是减函数；
②函数的定义域为R，
是
为极值点的既不充分也不必要条件；
③函数
的最小正周期为
；
④在平面上，到定点的距离与到定直线
的距离相等的点的轨迹是抛物线；
⑤已知
则
在
方向上的投影为
。
其中，正确命题的序号是 。
三、解答题: 本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
16.（本题满分12分）已知函数
，把函数
的图象按向量
平移后得到的图象。
（Ⅰ）求函数
的值域；
（Ⅱ）当
时
恒有解，求实数的取值范围.
17．（本题满分12分）在
中，已知
，又
的面积等于6.
（Ⅰ）求
的三边之长；
（Ⅱ）设是
（含边界）内一点，到三边
的距离分别为
，求
的取值范围.
18．（本题满分12分）武汉东湖风景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车
的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部
租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自
行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管
理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理
费用后的所得）。
（Ⅰ）求函数的解析式及其定义域；
（Ⅱ）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
19．（本题满分12分）在数列
中，
，且已知函数
（
）在
时取得极值.
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设
，且
对于
恒成立，求实数
的取值范围．
20．（本题满分13分）设函数
，已知
是函数的极值点。且函数
的值域为
。
（Ⅰ）求实数和
的值；
（Ⅱ）设
，证明
。
21．（本题满分14分）在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为
.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
（Ⅱ）过点A作直线与(Ⅰ)中的曲线交于M、N两点，求
的最小值的集合.
湖北省补习学校联合体大联考
一、选择题
D A A C D C D C B B
二、填空题:
11. 
12．
13．81 14．
15.②③
三、解答题:
16.解：把函数
按向量
平移后得
..............2分
（Ⅰ）
=
..................3分
............5分
则函数的值域为
；.....................7分
（Ⅱ）当
时，
，
.............................................9分
恒有解，
，..................................11分
即
....................................................12分
17.解：（Ⅰ）设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c，
∵
，∴
，由正弦定理有
,
又由余弦定理有
，∴
，即
，
所以
为Rt，且
.................................. 3分
又
（1）÷（2），得
...................................... 4分
令a=4k, b=3k (k>0)
则
∴三边长分别为3，4，5.....................6分
（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为
设P点坐标为（x, y），则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1, d2和d3可知
，..................................8分
且
故
.......................10分
令
，由线性规划知识可知0≤m≤8，故d1+d2+d3的取值范围是
......12分
18.解：（Ⅰ）当
………………2分
，..............................................5分
故
................6分
定义域为
.................................7分
（Ⅱ）对于
，
显然当
（元）， ..................................9分
∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多。..........12分
19.解： (Ⅰ) ∵
(1)＝0
∴(an＋2－an＋1)－(
即an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)
又a2－
∴数列｛an＋1－2an｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。...............2分
∴an＋1－2an＝4×2n－1＝2 n＋1
∴
且
∴数列｛
｝是首项为1，公差为1的等差数列，....................4分
∴＝
＋(n－1)×1＝n
∴
.....................................................6分
（Ⅱ）由
，
令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n
Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1.......................8分
得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1
＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1
∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜
.....................10分
要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立,只须
所以实数
的取值范围是。.......................................12分
20．解：（Ⅰ）因为
又
是函数
的极值点，
，即
..............2分
，则
............4分
.........................................................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
故
.................................8分
令
，当
时，得
，
则当
时，
；当
时，
，
所以
在上单调递减，在单调递增，..................10分
故
时，
，又
，..................................12分
即对任意
，恒有
。..................................13分
21.解：（Ⅰ） 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，
设 |CA|+|CB|=
所以焦距
因为 
又 
，所以 
，
由题意得 
...........................................4分
此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).
所以C点的轨迹方程为 
.............................6分
（Ⅱ）不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2)
(1)当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得
.......................................7分
显然有
△≥0， 所以 
而由椭圆第二定义可得
......................... 10分
只要考虑
的最小值，即考虑
取最小值，显然.
当k=0时，
取最小值16. .................................12分
(2)当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得
.....12分
但 ，故
，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集............................................................14分