试卷类型：A
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
数 学 (文 科) 2009.3
本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校、以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B将试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积V=文科数学含答案.files/image002.gif)
Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出
1.函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为
A.文科数学含答案.files/image004.gif)
B.π C. 2π D. 4π
2.已知全集U=R，集合A={x|x2－x=0}，B={x|－1<x<1}，则A∩B=
A.{0} B. {1} C. {0，1} D.φ
3.已知z=i(1+i)(i为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点位于
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对
行统计，其频率分布直方图如图1所示，已知9时至10时的销售额为2.5
万元 ，则11时至12时的销售额为
文科数学含答案.files/image005.gif)
A. 6万元 B. 8万元
C. 10万元 D. 12万元
5.已知A(－1，a)、A(a，8)两点的直线
与直线2x－y+1=0平行，则a的值为
A.－10 B.
6.已知a，b∈R且a>b，则下列不等式
中成立的是
A.文科数学含答案.files/image007.gif)
B. a2>b文科数学含答案.files/image009.gif)
8.如果命题“p且q”是假命题，“非p” 是真命题，
那么
A.命题p 一定是真命题 B.命题q 一定是真命题
C.命题q 一定是假命题
D.命题q 可以是真命题也可以是假命题
9.已知平面内不共线的四点0，A，B，C满足
文科数学含答案.files/image012.gif)
，则文科数学含答案.files/image014.gif)
A.1：3 B.3：
10.在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数
f(x)=文科数学含答案.files/image016.gif)
x3+ax－b在区间[－1，1]上有且仅有一个
零点的概率为
A.文科数学含答案.files/image018.gif)
B.文科数学含答案.files/image020.gif)
C. 文科数学含答案.files/image022.gif)
D. 文科数学含答案.files/image024.gif)
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
文科数学含答案.files/image025.gif)
(一) 必做题 (11～13题)
11.椭圆文科数学含答案.files/image027.gif)
的离心率为 ．
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意
n∈N*都有Sn=2 an－1，则a1的值为 _____，
数列{an}的通项公式an= ．
13.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.
(二)选做题 (14～15题，考生只能从中选做一题)二题在全答的，只计算第
一题的得分.
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+文科数学含答案.files/image029.gif)
)=2被圆
ρ=4截得的弦长为 .
15. (几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，
PO交圆O于B，C两点，AC
=文科数学含答案.files/image031.gif)
，∠PAB=300，则线段PB的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16.(本小题满分12分)
某校高三年级要从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表参加
学校的演讲比赛.
(1)求男生a被选中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被选中的概率.
17.(本小题满分14分)
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=文科数学含答案.files/image033.gif)
．
(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．
18.(本小题满分14分) 如图4，A
(1)求证: BC⊥平面A1AC；
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
文科数学含答案.files/image034.gif)
19. (本小题满分14分)
设A(x1，x2)、B(x2，y2)是抛物线x2=4y上不同的两点，且该抛物线在点A、B处的两条切线相交于点C，并且满足文科数学含答案.files/image036.gif)
.
(1)求证：x1?x2=－4；
(2)判断抛物线x2=4y的准线与经过A、B、C三点的圆的位置关系，并说明理由.
20. (本小题满分12分)
某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)
(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；
(2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？
21. (本小题满分14分)
已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.
(1)求证：数列{
an－文科数学含答案.files/image002.gif)
×2n}是等比数列；
(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题，每小题5分，
满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
C
B
D
A
D
D
C
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共5小题，每小
题5分，满分20分．其中14～15题为选做题，考生只能选做一题. 第十二题的第一个空2分，第二个空3分．
11. 文科数学含答案.files/image039.gif)
； 12.
1， 2n-1； 13. 80； 14.文科数学含答案.files/image041.gif)
； 15.1.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
某校高三年级要从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表参加
学校的演讲比赛.
(1)求男生a被选中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被选中的概率.
解：从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表选法是：
a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；
b，c，e；b，d，e；c，d，e共10种. ……4分
(1)男生a被选中的选法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e，共6种，于是男生a被选中的概率为文科数学含答案.files/image043.gif)
. ……8分
(2) 男生a和女生d至少一人被选中的选法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，d，e；c，d，e共9种，
故男生a和女生d至少一人被选中的概率为文科数学含答案.files/image045.gif)
.
……12分
17.(本小题满分14分)
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=文科数学含答案.files/image033.gif)
．
(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．
解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，
∴sinB=文科数学含答案.files/image047.gif)
.
……2分
由正弦定理得文科数学含答案.files/image049.gif)
，
……4分
文科数学含答案.files/image051.gif)
.
……6分
(2) ∵S△ABC=文科数学含答案.files/image016.gif)
acsinB=4，
……8分
∴文科数学含答案.files/image054.gif)
， ∴c=5.
……10分
由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，
∴文科数学含答案.files/image056.gif)
.……14分
18.(本小题满分14分) 如图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A= AB=2.
(1)求证: BC⊥平面A1AC；
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
文科数学含答案.files/image057.gif)
证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，
且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC, ……2分
∵AA1⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，
∴AA1⊥BC， ……4分
∵AA1∩AC=A，AA1Ì平面AA1 C，
ACÌ平面AA
∴BC⊥平面AA1C. ……6分
(2)解法1：设AC=x，在Rt△ABC中，
文科数学含答案.files/image059.gif)
(0<x<2) ,
……7分
故文科数学含答案.files/image061.gif)
(0<x<2),
……9分
即文科数学含答案.files/image063.gif)
. ……11分
∵0<x<2，0<x2<4，∴当x2=2，即文科数学含答案.files/image065.gif)
时，
三棱锥A1-ABC的体积的最大值为文科数学含答案.files/image067.gif)
.
……14分
解法2: 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=4， ……7分
文科数学含答案.files/image069.gif)
……9分
文科数学含答案.files/image071.gif)
.
……11分
当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=文科数学含答案.files/image073.gif)
.
∴三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.
……14分
19. (本小题满分14分)
设A(x1，x2)、B(x2，y2)是抛物线x2=4y上不同的两点，且该抛物线在点A、B处的两条切线相交于点C，并且满足文科数学含答案.files/image036.gif)
.
(1)求证：x1?x2=－4；
(2)判断抛物线x2=4y的准线与经过A、B、C三点的圆的位置关系，并说明理由.
(1) 证明：由x2=4y得文科数学含答案.files/image075.gif)
，则文科数学含答案.files/image077.gif)
，
∴抛物线x2=4y在点A(x1，x2)、B(x2，y2)处的切线的斜率分别为文科数学含答案.files/image079.gif)
，
……2分
∵，∴文科数学含答案.files/image081.gif)
，
……4分
∴抛物线x2=4y在点A(x1，x2)、B(x2，y2)处两切线互相垂直，
∴文科数学含答案.files/image083.gif)
，∴x1?x2=－4.
……6分
(2) 解法1: ∵，∴，
∴经过A、B、C三点的圆的圆心为线段AB的中点D，
圆心D文科数学含答案.files/image085.gif)
，
……8分
∵抛物线x2=4y的准线方程为y=－1, ∴点D到直线
y=－1的距离为文科数学含答案.files/image087.gif)
，
……10分
∵经过A、B、C三点的圆的半径文科数学含答案.files/image089.gif)
，
由于x12=4y1，x22=4y2，且x1?x2=－4，则文科数学含答案.files/image091.gif)
，
∴文科数学含答案.files/image093.gif)
文科数学含答案.files/image095.gif)
，
即文科数学含答案.files/image097.gif)
文科数学含答案.files/image099.gif)
，
……12分
∴d=r，∴抛物线x2=4y准线与经过A、B、C三点的圆相切. ……14分
解法2:由(1)知抛物线x2=4y在点A(x1，x2)处的切线的斜率为文科数学含答案.files/image101.gif)
又x12=4y1，∴切线AC所在直线方程为文科数学含答案.files/image103.gif)
，
即文科数学含答案.files/image105.gif)
①
……8分
同理可得切线BC所在直线方程为文科数学含答案.files/image107.gif)
②
由①，②得点C的横坐标文科数学含答案.files/image109.gif)
，纵坐标yC=－1，即文科数学含答案.files/image111.gif)
……10分
∵，∴，
∴经过A、B、C三点的圆的圆心为线段AB的中点D，
圆心D，
∵抛物线x2=4y的准线方程为y=－1,
∴点D到直线y=－1的距离为，
……12分
∵经过A、B、C三点的圆的半径r=|CD|=文科数学含答案.files/image113.gif)
，
∴d=r，∴抛物线x2=4y准线与经过A、B、C三点的圆相切. ……14分
20. (本小题满分12分)
某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)
(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；
(2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？
(本题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解和应用意识)
解：(1) 生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间文科数学含答案.files/image115.gif)
(x∈N*，且1≤x≤49).
……2分
(2) 生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间文科数学含答案.files/image117.gif)
(x∈N*，且1≤x≤49).
……4分设完成全部生产任务所需时间h(x)小时，则h(x)为f(x)与 g(x)的较大者，
令f(x)≥g(x)，则文科数学含答案.files/image119.gif)
，解得文科数学含答案.files/image121.gif)
，
所以，当1≤x≤32时，f(x)>g(x)；当33≤x≤492时，f(x)<g(x).
故文科数学含答案.files/image123.gif)
……6分
当1≤x≤32时，文科数学含答案.files/image125.gif)
，故h(x)在[1，32]上单调递减，
则h(x)在[1，32]上的最小值为文科数学含答案.files/image127.gif)
(小时)； ……8分
当33≤x≤49时，文科数学含答案.files/image129.gif)
，故h(x)在[33，49]上单调递增，
则h(x)在[33，49]上的最小值为文科数学含答案.files/image131.gif)
(小时)； ……10分
∵h(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值为h(32)， ∴x=32.
答：为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32. ……12分
21. (本小题满分14分)
已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.
(1)求证：数列{
an－×2n}是等比数列；
(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)
(1)证法1：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，
∴文科数学含答案.files/image133.gif)
……2分
由an+an+1=2n，得文科数学含答案.files/image135.gif)
，故数列文科数学含答案.files/image137.gif)
是首项为文科数学含答案.files/image139.gif)
，公比为－1的等比数列.
……4分
证法2：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，
∴
……2分
∵文科数学含答案.files/image141.gif)
，
故数列是首项为，公比为－1的等比数列.
……4分
(2)解：由(1)得文科数学含答案.files/image143.gif)
，即文科数学含答案.files/image145.gif)
，
∴文科数学含答案.files/image147.gif)
文科数学含答案.files/image149.gif)
……6分
∴Sn=a1+ a2+
a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]
文科数学含答案.files/image152.gif)
，
……8分
要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，
即文科数学含答案.files/image154.gif)
对任意n∈N*都成立.
①当n为正奇数时，由(*)式得文科数学含答案.files/image156.gif)
，
即文科数学含答案.files/image158.gif)
，
∵2n+1－1>0，∴文科数学含答案.files/image160.gif)
对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时，文科数学含答案.files/image162.gif)
有最小值1，∴λ<1.
……10分
①当n为正奇数时，由(*)式得，
即，
∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.
……10分
②当n为正偶数时，由(*)式得文科数学含答案.files/image164.gif)
，
即文科数学含答案.files/image166.gif)
，
∵2n－1>0，∴文科数学含答案.files/image168.gif)
对任意正偶数n都成立.
当且仅当n=2时，文科数学含答案.files/image170.gif)
有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分
综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1). ……14分