精析精练 ---------常用逻辑用语典例分析:一. 逻辑联结词.简单命题与复合命题例1.写出由下述各命题构成的“p或q .“p且q .“非p 形式的复合命题.并指出所构成的这——青夏教育精英家教网—

精析精练

---------常用逻辑用语

典例分析:

一. 逻辑联结词、简单命题与复合命题

例1.写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假.

（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数。

（2）p：方程x²－1=0的解是x=1，q：方程x²－1=0的解是x=－1；

（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.

分析:由简单命题构成复合命题时,若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.然后通过“或”、“且”、“非”命题的真值表判断各命题的正误.

解析:（1）p或q：9是144或225的约数；p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；非p：9不是144的约数.

∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q” 为真，而“非p”为假.

（2）p或q：方程x²－1=0的解是x=1,或方程x²－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x²－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p且q：方程x²－1=0的解是x=1,且方程x²－1=0的解是x=－1；非p：方程x²－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；

∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q” 均为假，而“非p”为真.

（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0； p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；

∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q” 均为假，而“非p”为真.

点评: “p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xAB）；“p且q”是指p,q中的两者.例如，“xA且xB”，是指x属于A，同时x也属于B（即xAB）.“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“xA”，则“非p”表示x不是集合A的元素（即x）

二.四种命题及其相互关系

例2. （1）“若，则没有实根”，其否命题是 .

（2）判断命题：“对于实数、，若＋≠8，则≠2或≠6”的真假.

分析:书写命题的几种形式时,要分清条件与结论,依据定义书写;对于直接较难判断真假的命题可依据命题间的等价关系进行转化解答.

解析:（1）否命题为:若，则有实根

（2）本题若直接判断,很难确定＋≠8是否能推出≠2或≠6，若利用原命题与逆否命题等价这一结论，可使本题的解题思路清晰，步骤简洁,原命题的逆否命题为：若=2且=6则＋=8。而我们容易知道，当=2且=6时＋=8 成立.∴原命题的逆否命题为真，则原命题为真。

点评:在书写命题的几种形式或判断命题的真假时要注意如下几方面:（1）若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若?p 则?q” ；逆否命题为“若?q 则?p”;（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”;（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。

三.充要条件

例3.在下列四个结论中，正确的有________.(填序号)

①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件

②“”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”的充要条件

③“x≠1”是“x²≠1”的充分不必要条件

④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分条件

分析:关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

解析: ①∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件. ②结合二次函数的图象易知命题是正确的；③x≠1x²≠1，反例：x=-1x²=1，∴“x≠1”是“x²≠1”的不充分条件. ④x≠0x+|x|＞0，反例x=-2x+|x|=0.但x+|x|＞0x＞0x≠0,∴“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分条件.答案:①②④

点评:判断充要条件关系有三种方法：

①定义法：若，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若，则A是B的充要条件。

②利用原命题和逆否命题的等价性来确定 “若A，则B”及“若B，则A”的真假性。

③利用集合的包含关系：若则A是B的充分条件，B是A的必要条件；

若A=B，则A是B的充要条件。

巩固练习

基础验收

1.p:“有些三角形是等腰三角形”，则┐p是（）

A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等腰三角形

C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形

2.若集合，，则“”是“”的

A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件．

3.原命题：“设、、，若则”的逆命题、否命题、逆否命题真命题共有：（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4.设命题p：若. 给出下列四个复合命题：

①p或q；②p且q；③p；④q,其中真命题的个数有（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（）

（A）1或2或3或4 （B）0或2或4

（C）1或3 （D）0或4

6..下列四个命题中真命题是

①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1，则方程x²－2x+m=0有实根”的逆否命题 ④“若A∩B=B，则AB”的逆否命题

A.①② B.②③ C.①②③ D.③④

7.已知真命题“”和“”, 那么“”是“”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（）

A．命题p与命题q的真值相同 B．命题q一定是真命题

C. 命题P一定是真命题 D.无法确定

9.若与都是非零向量，则“”是“”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

10.命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为

A.a+b不是偶数，则a、b不都是偶数B.a+b不是偶数，则a、b都不是偶数

C.a、b不都是偶数，则a+b不是偶数D.a、b都不是偶数，则a+b不是偶数

11.使不等式2x²－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（）

A.x＜0 B.x≥0 C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3

12.若已知A是B的充分条件，C是D的必要条件，而B是D的充要条件，则D是C的_______条件；D是A的_______条件；A是C的_______条件，D是B的_______条件.

13．有下列四个命题：

①命题“若，则，互为倒数”的逆命题②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若≤1，则有实根”的逆否命题④命题“若∩=，则”

的逆否命题其中是真命题的是（填上你认为正确命题的序号）

14.指出下列复合命题的形式及其构成.

（1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；

（2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；

（3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形.

15.若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.

16.已知：命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围。

17.设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切正实数均成立．如果命题“或”与命题“且”的真假性不同，求实数的取值范围．

挑战高考

18.（07山东理7）命题“对任意的，”的否定是（）

A．不存在，B．存在，

C．存在， D．对任意的，

19.（06江西卷）下列四个条件中，是的必要不充分条件的是（　　）

Ａ，Ｂ,

Ｃ为双曲线,Ｄ,

20.(07重庆)命题“若，则”的逆否命题是（　　）

Ａ．若，则或Ｂ．若，则

Ｃ．若或，则Ｄ．若或，则

21.（07湖南文）设（），关于的方程（）有实根，则是的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

22.(06?湖北)有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，给出下列命题：①的充要条件是；

②的必要条件是；③的充分条件是；

④的充要条件是；其中真命题的序号是( )

A．③④ B．①② C．①④ D．②③

23.（07全国卷1），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　）

Ａ充要条件Ｂ充分而不必要的条件Ｃ必要而不充分的条件Ｄ既不充分也不必要的条件

24.（07湖北）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）

A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

25.下列各小题中，是的充分必要条件的是

①有两个不同的零点

②是偶函数③

④

A.①② B.②③ C.③④ D. ①④

巩固练习答案部分

基础验收

1.答案C;解析:本题属存在性命题的否定命题,一般地若命题p：“存在使P（x）成立”，┐p为：“对任意,有不成立”.

2.答案:A;解析:据定义判断.

3.答案:B;解析:若,则,即原命题正确; 而若,则,不一定成立(不成立),即得其逆命题为假命题.∴逆否命题为真命题,否命题为假命题,真命题共的1个,故应选B.

4.答案:C;解析:命题p:若为假命题,因为中有一个为0,则此命题就是不成立;命题也是假命题.则①为假命题;②为假命题;③为真命题;④真命题;综上所述,其中真命题有2个,故选C.

5.答案:B;解析:结合命题的等价关系进行判断．

6.答案:C;解析:写出满足条件的命题再进行判断.

7.答案:A;解析:转化为逆否命题进行判断.

8.B;解析:据已知易知P假,q一定真.

9.答案:C;解析:由于为非零向量，故.故应选C.

10.答案: A;解析:命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”

11.答案:C;解析：∵2x²－5x－3≥0成立的充要条件是x≤－或x≥3,只需已知范围对应的集合是此不等式的解集的真子集即可.

12.答案:充分、必要、充分、充要;解析:ABDC， D是C的充分条件，D是A的必要条件，A是C的充分条件，D是B的充要条件.

13答案:①②③;解析:依次写出再作出判断.

14.解析:（1）是非p形式的复合命题，其中p:若α是一个三角形的最小内角，则α＞60°.

（2）是p且q形式的复合命题，其中p:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.

（3）是p或q形式的复合命题，其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形.

15.解：逆命题“若ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）有两个不相等的实数根，则ac＜0”是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x²－3x+2=0有两个不等实根x₁=1，x₂=2，但ac=2＞0.

否命题“若ac≥0，则方程ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.

逆否命题“若ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价

16.分析：因为是的充分不必要条件，即，由逆否命题与原命题等价，得，使已知条件简单化。

解析:由得，从而，所以命题：Ａ=；由得，所以命题：，

∵ ，∴，即，∴，∴，又∵

∴

17.命题为真命题等价于对恒成立．当时，则矛盾．故,即得.命题为真命题等价于对一切正实数均成立．而当时，，所以.因为命题“或”与命题“且”的真假性不同，则必有：命题“或”为真，命题“且”为假．所以，命题与有且仅有一个真命题.当真假时，则实数的取值范围为,当真假时，则实数的取值范围为．综合以上得，所求实数的取值范围为.