宜春市2006年高考模拟考试
数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题均史有唯一正确答案12×5分=60分)
1.复Z在映射f下的象为z?i，则-1+2i的原象为
A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i
2.已知集合M不={(x，y)|y≤x},P={(x,y)|x+y≤2},S={(x,y)|y≥0},T=M∩P∩S,点E(x，y)∈T，则3y+x的最大值为
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
3.已知集合M={(x，y)|y≤x},P={(x，y)|x+y≤2},S={(x，y)|y≥0},T=M∩P∩S,点E(x,y)∈T,则3y+x的最大值为
A.0
B
4.已知函数f(x)=
，按向量
平移此函数图象，使其比简为反比例函数的解析式，则向为
A.(-1，1) B.(1，-1) C.(-1，-1) D.(1，1)
5.若在二项式(3x+5)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率为
A.
B.
C.
D.
6.在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC,则△ABC的形状是
A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
7.F1、F2是双曲线
=1的左、右焦点，P、Q为右支上两点，直线PQ过F2，且倾斜角为α，则|PF1|+|QF1|-|PQ|的值为
A.16 B
8.已知a>0，设命题P：函数f(x)=x+
在区间(1，2)上单调递增，命题Q：不等式|x-1|-|x+2|<4a对任意x∈R都成立，若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.0<a≤
或a>1 D.0<a<或a≥1
9.抛物线y=x2上点A处的切线与直线3x-y+1=0的夹角45°，则点A的坐标为
A.(-1，1) B.(
) C.(1,1) D.(-1，1)或(
)
10.若tanx1?tanx2=1,则sinx1?sinx2最大值为
A.
B.
C.1 D.无最大值
11.已知函数f(x)在R上为偶函数，f(x+1)+f(x)=1,x∈[1,2]时，f(x)=2-x,则f(-2006)的值为
A.1.5 B.0 C.1 D.0.5
12.水平桌面上放置这一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD-A1B1C1D1，其中装有V的水.
①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；
②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；
③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；
④在③中水与容器的接触面积始终不变.
以上说法中正确的个数是为
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13.已知函数f(x)对于任意x1、x2∈R+,恒有f(x1?x2)=f(x1)+f(x2),若f(
)=，则f(8)=______.
5
14.已知a、b、c∈R，且三次方程x3+ax2+bx+c=0有三个实根x1、x2、x3仿照二次方程根与系数的关系，写出三次方程根与系数的关系，则x1+x2+x3、x1?x2+x2?x3+x3?x1、x1?x2?x3的值依次分别为_____.
15.将1、2、3……8、9这9个数字填在如图所示的3×3的
表格中，每格填一个数，要求每一行从左到右，每一列从上到
下都依次增大，5已定在中间位置，则不同的填法种数为________。
16.关于函数f(x)= 
(a为常数且a>0)，下列表述正确的为________.
(将你认为正确的都填上)
(1)它的最小值为0；
(2)它在每一点处都连续；
(3)它在R上为增函数.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，17-21题每题12分，22题14分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知△ABC的面积S满足
≤S≤3，且
的夹角为x.
(1)求x的取值范围
(2)已知
=(cos4x，-sinx),
=(1,sin3x+2cosx),f(x)= ?，求f(x)的值域.
18.某人上楼梯，每步上一阶的概率为
，每步上二阶的概率为
，设该人从台阶下的平台开始出发，到达第n阶的概率为Pn.
(1)求P1，P2；
(2)该人共走了5步，求该人这5步共上的阶数ξ的数学期望.
19.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2，且∠A1AD=∠A1AB=60°,AC与BC交于点O.
(1)求证：A1O⊥平面ABCD；
(2)求BC1与底面ABCD所成的角；
(3)求侧棱AA1和截面B1D1DB的距离.
20.设实数x、y同时满足条件4x2-9y2=36,且x>0,y<0.
(1)求y=f(x)的解析式和定义域；
(2)设y=f(x)的反函数y=f-1(x)图象上任意一点的切线的斜率为k，试求k的取值范围.
21.已知
(n，n)(n∈R，n为变量)，
的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：①
，λ≠0,t∈R)；③动点P的轨迹Q经过点B(0，-1)
(1)求c的值；
(2)求曲线Q的方程；
(3)方向向量为=(1,k)(k≠0)的直线l与曲线Q交于两个不同的点M、N，
，求k的取值范围.
22.对于数列{an}，定义其倒均数Vn=
(1)若数列{an} 中，Vn=
求{an}的通项公式；
(2)已知{bn}为等比数列，且其公比为，其倒均数为Vn,是否存在正整数m,使得当n≥m(n∈N*)时，Vn<
恒成立，如果存在，求m的最小值；如不存在，说明理由.
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
D
C
C
A
C
D
B
B
D
二、填空题
13.3 14.-a、b、-c 15.18 16.(1)(2)
三、解答题
17.解：(1)∵
夹角为x,∴
cosx=6
S=
sin∠ABC=sin(π-x)=sinx …………2分
∴
…………4分
x∈[0,π],∴x∈[
] …………6分
(2)f(x)=
=cos4x×1+(-sinx)(sin3x+2
sin2x)=cos4x-sin4x-2sinxcosx
=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+
) …………9分
∵
∴f(x)∈[-
] …………12分
18.解：(1)从平台达到第一阶每步只能上一阶，因此概率P1=
…………2分
从平台到达第二阶有二种走法：走两步，或一步到达，
故概率为P2=×+
…………5分
(2)该人走了五步，共上的阶数ξ取值为5，6，7，8，9，10
ξ的分布列为：(6分)
ξ
5
6
7
8
9
10
P
()5
Eξ=5×()5+6×
…………12分
19.(1)证：连结A1D、A1B
由已知可得△AA1B和△A1AD为全等的正三角形.
∴A1B=A1D∴A1O⊥BD
又AB=AD，BD=BD
∴△ABD≌△A1BD∴A1O=AO=
又AA1=2∴A1O⊥AO
∴A1O⊥平面ABCD …………4分
(2)过C1作C1H⊥AC交AC的延长线于H，则C1H⊥平面ABCD
连结BH，则∠C1BH为BC1与平面ABCD所成的角.
∵OH=A1C1=2，BO=，∴BH=
∴tan∠C1BH=
∠C1BH=arctan
…………8分
((2)也可用向量法求解)
(3)连结OO1，易知AA1∥OO1，面AA1O1O⊥面BDD1B1
作A1G⊥OO1，则A1G为AA1与面B1D1DB的距离.
由(1)知A1O=AO=A1O1，A1O⊥A1O1
∴A1G=
=1 …………12分
((3)也可用向量法或等积法求解)
20.(1)y2=
,∵y2>0,x>0,∴x>3又y<0
∴y=-
…………4分
(2)x=
∴y=f-1(x)= 
(x<0) …………7分
设(x0，y0)为y=f-1(x)图象上任一点.
=
故-
…………12分
21.(1)
，当n=
时，
∴c= …………3分
(2)∵
直线x=
∴P点在以F为焦点，x=
为准线的椭圆上 …………5分
设P(x,y)则
点B(0，-1)代入，解得a=
∴曲线方程为
…………7分
(3)设l:y=kx+m(k≠0)与联立，消去y得：(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
△>0得：m2<3k2+1 …………9分
设M(x1，y1),N(x2，y2),MN中点A(x0,y0),由
，
由韦达定理代入KBA=-
，可得到m=
∴k2-1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1 …………11分
即存在k∈(-1,0)∪(0.1)使l与曲线Q交于两个不同的点M、N
使
…………12分
22.(1)由于数列{an}的倒均数，Vn=
得：
…………2分
当n≥2时，
所以
，又当n=1时，a1=也适合上式.
∴an=
…………6分
(2)由于{bn}是公比为q=
的等比数列，∴{
}为公比为2的等比数列，其倒均数
Vn=
，不等式Vn<
…………8分
若b1<0,则2n-1>8n，令f(x)=2x-8x-1，则f(x)=2xln2-8,当x≤3时，f(x)<0,当x>4时，f(x)>0,∴f(x)当x≥4时是增函数又f(x)=-9<0,f(6)=15>0,故当n≥6时，f(n)>0，即2n-1>8n恒成立，因此，存在正整数m，使得当n≥m,n∈N*时，Vn<
恒成立，且m的最小值为6……12分
若b1>0,则上式即为2n-1<8n,显然当n≤5时成立，而n>5时不成立，故不存在正整数m,使n≥m(n∈N*)时，Vn=成立 …………14分