1．函数的定义域为（   ）

A.             B.  

C.  　　　　　 　　 D.

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（    ）

3．已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是（  ）

 （A）1       （B）2         （C）           （D）

4．复数  （    ）

A．2                  B．－2             C．                      D．

5．已知数列对任意的满足，且，那么等于（    ）

A．             B．            C．            D．

6．若，则（    ）

A．<<                   B．<<         C． <<              D． <<

7．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（    ）

A．               B．                C．                D．

8．函数的最小值和最大值分别为（    ）

A. －3，1                B. －2，2             C. －3，                 D. －2，

9．定义在上的函数满足（），，则等于（    ）

A．2              B．3               C．6                   D．9

10．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A．                        B．

C．                    D．

11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（    ）

A．                B．                C．                  D．

12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（  ）

A．96             B．84               C．60                 D．48

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学预测卷

第Ⅱ卷

13．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝a^x(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是    

14．过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________

15．已知双曲线的离心率是。则＝         

16．已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为         。

17．（本小题满分10分）

（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

18．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

如图，在四棱锥中，底面四边长

为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点

（Ⅰ）证明：直线；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

19．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

设函数为实数。

（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

20．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂。根据市场分析，X₁和X₂的分布列分别为

X₁

5%

10%

X₂

2%

8%

12%

P

0.8

0.2

P

0.2

0.5

0.3

（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY₁、DY₂；

（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。   （注：D(aX + b) = a²DX）

21．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.

22．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

数列的前项和为，已知

（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学预测卷

       本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

考生注意：

       1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

       2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

       3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

       如果事件互斥，那么                                    球的表面积公式

       如果事件相互独立，那么                             其中表示球的半径

                                                 球的体积公式

       如果事件在一次试验中发生的概率是，那么         

       次独立重复试验中恰好发生次的概率               其中表示球的半径

1．函数的定义域为

A.             B.  

C.  　　　　　 　　 D.

解：函数的定义域必须满足条件：

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（    ）

解：A． 根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知；

3．已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是

 （A）1       （B）2         （C）           （D）

解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。

展开

则的最大值是;

或者利用数形结合, ，对应的点A,B在圆上,

对应的点C在圆上即可.

4．复数  （    ）

A．2                  B．－2             C．                      D．

【标准答案】：A。

【试题解析】：

5．已知数列对任意的满足，且，那么等于（    ）

A．             B．            C．            D．

【标准答案】: C

【试题分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30

【高考考点】: 数列

【易错提醒】: 特殊性的运用

【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。

6．若，则（    ）

A．<<                   B．<<         C． <<              D． <<

【解析】由，令且取知<<

【答案】C

7．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（    ）

A．               B．                C．                D．

【答案】A

【解析】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点的横坐标

为, 且（为点P处切线的倾斜角），又∵，

∴，∴

8．函数的最小值和最大值分别为（    ）

A. －3，1                B. －2，2             C. －3，                 D. －2，

【标准答案】：Ｃ

【试题解析】：∵                                             

∴当时，，当时，；故选Ｃ；

【高考考点】三角函数值域及二次函数值域

【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错。

【备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可。

9．定义在上的函数满足（），，则等于（    ）

A．2              B．3               C．6                   D．9

解：令，令；

令得

10．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A．                        B．

C．                    D．

【解析】.D．由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.

11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（    ）

A．                B．                C．                  D．

解：C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.

另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为

长度均为，平面的法向量为,

则与底面所成角的正弦值为.

12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（  ）

A．96             B．84               C．60                 D．48

解析：B.分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；

种四种花有种种法.共有.

另解：按顺序种花，可分同色与不同色有

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学预测卷

第Ⅱ卷

13．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝a^x(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是    

解：区域是三条直线相交构成的三角形（如图）

显然，只需研究过、两种情形，

 且即

14．过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________

解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，

建立方程组，得交点纵坐标，从而

15．已知双曲线的离心率是。则＝         

解：，离心率，所以

16．已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为         。

解：由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，

设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值

17．（本小题满分10分）

（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．函数是偶函数．

18．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

如图，在四棱锥中，底面四边长

为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点

（Ⅰ）证明：直线；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

方法一（综合法）  （1）取OB中点E，连接ME，NE

又

  （2）

   为异面直线与所成的角（或其补角）作连接

                ，

                所以 与所成角的大小为

         （3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

 于点Q，

              又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

                ，

                ，所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

(2)设与所成的角为,

   , 与所成角的大小为

(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

       由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

19．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

设函数为实数。

（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

【解析】（I）在取得极值即

（Ⅱ）即 令即对任意都成立则即

【试题解析】本题考查运用导数求三次函数的单调区间，从而求字母参数的取值范围，属于中等题

【高考考点】导数的三大应用

【备考提示】要熟练掌握导数的三大应用：①求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率；②有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为；③单调性的判断： ，单调递增；，单调递减，和一些常见的导数的求法. 要熟练一些函数的单调性的判断方法有，作差法，作商法，导数法；对于含参范围问题，解决方法有，当参数为一次时，可直接解出通过均值不等式求最值把其求出；当为二次时，可用判别式法或导数法等求.而此种题型函数与方程仍是高考的必考，以函数为背景、导数为工具，以分析、探求、转化函数的有关性质为设问方式，重点考查函数的基本性质，导数的应用，以及函数与方程、分类与整合等数学思想.其中试题灵活多变。

20．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂。根据市场分析，X₁和X₂的分布列分别为

X₁

5%

10%

X₂

2%

8%

12%

P

0.8

0.2

P

0.2

0.5

0.3

（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY₁、DY₂；

（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。   （注：D(aX + b) = a²DX）

【试题解析】 (I)由题设可知, Y₁和Y₂的分布列分别为

Y ₁

5

10

P

0.8

0.2

Y ₂

2

8

12

P

0.2

0.5

0.3

E Y₁=5×0.8+10×0.2=6,

D Y₁=(5-6)²×0.8+(10-6)²×0.2=4,

EY₂=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,

D Y₂=(2-8)²×0.2+(8-8)²×0.5+(12-8)²×0.3=12.

(II)

当时，为最小值.

21．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.

本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得

，解得，所以双曲线方程为．

（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得．

此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线方程为．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．

将上式代入③式得，整理得，．

解得或．

所以的取值范围是．

22．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

数列的前项和为，已知

（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

解：由得：，即，所以，对成立。

由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。

（Ⅱ）由，得。

而，

，