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2006 年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理工类） （北京卷）

本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，第 I卷 1 至2 页,第 II卷 3 至 9 页，

共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷（选择题共 40 分）

注意事项：

1．  答第 I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。

试题详情

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二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分。把答

试题详情

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

（1）D （2）C （3）B （4）A

（5）C （6）A （7）D （8）C

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）

（9）    （10）－14    （11）    （12）
（13）            （14）    

三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）

（15）（共 12 分）

解：（Ⅰ）由 得，

故在定义域为
（Ⅱ）因为，且是第四象限的角,

  所以

 故

          .

（16）（共 13 分）

解法一：

（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.

(Ⅱ)
由
得

解得

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设

又
所以 

由,
即
得,
所以.
（17）（共 17 分）

解法一：

（Ⅰ）∵PA⊥平面 ABCD，
∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.

又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，

∴AC⊥PB.

（Ⅱ）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO.

∵ABCD 是平行四边形，

∴O 是 BD 的中点

又 E 是 PD 的中点

∴EO∥PB.

又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，

∴PB∥平面 AEC.

（Ⅲ）取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G 的坐标为,=.

又

是二面角的平面角
 
 
二面角E-AC-B的大小为.
（18）（共 13 分）

解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C，

则

（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率

应聘者用方案二考试通过的概率

  
   .

（Ⅱ）因为,所以

   
故,
即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.
(19）（共 14 分）

解法一：

（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实

半轴长

又半焦距 c=2，故虚半轴长
所以 W 的方程为, 

（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为,

当 AB⊥x轴时,从而从而
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得

故 
所以  

                
             
             
              .
又因为,所以,从而
综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2.
解法二:
(Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则

令
则且所以
    


当且仅当,即时””成立.

所以、的最小值是2.
（20）（共 14 分）

（Ⅰ）解：,（答案不惟一）

（Ⅱ）解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,,

即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限

不存在.

当时, ,所以
（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下
 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而
 当时, ;
 当 时,
 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令
则
由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与()
矛盾. 从而必有零项.
若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，,  , 即

所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.

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2006年普通高等学校招生全国统一考试

数    学（理工农医类）（北京卷）（编辑：ahuazi）

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题  共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）    在复平面内，复数对应的点位于（D）

（A）第一象限                    （B）第二象限

（C）第三象限                    （D）第四象限

解：故选D

（2）若与都是非零向量，则“”是“”的（C）

       （A）充分而不必要条件           （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件               （D）既不充分也不必要条件

解：ÛÛÛ

故选C

（3）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（B）

       （A）36个                      （B）24个

（C）18个                      （D）6个

解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有＋＝24种方法，故选B

（4）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（A）

     （A）一条直线                    （B）一个圆

（C）一个椭圆                    （D）双曲线的一支

解：设与¢是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A

（5）已知是上的减函数，那么的取值范围是（C）

    （A）                          （B）

（C）                            （D）

解：依题意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<，又当x<1时，（3a－1）x＋4a>7a－1，当x>1时，log_ax<0，所以7a－1³0解得x³故选C

（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有（A）

    （A）                     （B）

（C）                     （D）

解：|>1<1\ |<|x₁－x₂|故选A

（7）设，则等于（D）

    （A）                      （B）

（C）                         （D）

解：依题意，为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D

（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （C）

（A）

（B）

（C）

（D）

解：依题意，有x₁＝50＋x₃－55＝x₃－5，\x₁<x₃，同理，x₂＝30＋x₁－20＝x₁＋10

\x₁<x₂，同理，x₃＝30＋x₂－35＝x₂－5\x₃<x₂故选C

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2006年普通高等学校招生全国统一考试

数    学（理工农医类）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

（9）的值等于

解：＝＝

（10）在的展开式中，的系数为（用数字作答）.

解：令得r＝1故 的系数为

＝－14

（11）若三点共线，则的值等于

解：， ，依题意，有（a－2）?（b－2）－4＝0

即ab－2a－2b＝0所以＝

（12）在中，若，则的大小是.

解： Ûa:b:c＝5:7:8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得的大小为.

（13）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于,最大值等于.

解：画出可行域，如图所示：

易得A（2，2），OA＝

B（1，3），OB＝

C（1，1），OC＝

故|OP|的最大值为，

最小值为.

（14）已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为，球心到平面的距离为.

解：如右图，因为，所以AB是截面

的直径，又AB＝R，所以△OAB是等边三角形，

所以ÐAOB＝，故两点的球面距离为，

于是ÐO₁OA＝30°，所以球心到平面的距离

OO₁＝Rcos30°＝.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题共12分）

       已知函数，

    （Ⅰ）求的定义域；

    （Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.

解：（1）依题意，有cosx¹0，解得x¹kp＋，

即的定义域为｛x|xÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝

（2）＝－2sinx＋2cosx\＝－2sina＋2cosa

由是第四象限的角，且可得sina＝－，cosa＝\＝－2sina＋2cosa

＝

（16）（本小题共13分）

       已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的值.

解：（1）由导函数的图象可知，当xÎ（－¥，1）时，>0，当xÎ（1，2）时，<0，当xÎ

（2，＋¥）时，>0，所以当x＝1时，函数取得极大值，

即x₀＝1

（2）＝3ax²＋2bx＋c，依题意有：，＝5即有

3a＋2b＋c＝0 ，12a＋4b＋c＝0，a＋b＋c＝5解得a＝2，b＝－9，c＝12

（17）（本小题共14分）

     如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

解：（1）由平面可得PA^AC

又，所以AC^平面PAB，所以

（2）如图，连BD交AC于点O，连EO，则

EO是△PDB的中位线，\EOPB

\PB平面

（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则

EF是△PAD的中位线，\EFPA又平面，\EF^平面

同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，故所求二面角的大小为135°.

（18）（本小题共13分）

       某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

       方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

       方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

       假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

    （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

    （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）

解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c

（1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为AB＋AC＋BC＋ABC，设其概率为

P₁，则P₁＝ab（1－c）＋a（1－b）c＋（1－a）bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc

设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P₂，则P₂＝ab＋ac＋bc

（2）P₁－P₂＝（ab＋ac＋bc－2abc）－（ab＋ac＋bc）＝ab＋ac＋bc－2abc

＝（ab＋ac＋bc－3abc）＝〔ab（1-c）＋ac（1－b）＋bc（1－a）〕>0

\P₁>P₂即用方案一的概率大于用方案二的概率.

（19）（本小题共14分）

       已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.

    （Ⅰ）求的方程；

    （Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： 

（x>0）

（2）    当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x₀，此时A（x₀，），

B（x₀，－），＝2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：

（1－k²）x²－2kbx－b²－2＝0……………………1°

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

解得|k|>1又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

综上可知的最小值为2

（20）（本小题共14分）

      在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.

（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

解：（Ⅰ）,（答案不惟一）

（Ⅱ）因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,,

即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限

不存在.

当时, ,所以
（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下
 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而
 当时, ;
 当 时,
 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令
则
由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与()
矛盾. 从而必有零项.
若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，,  , 即

所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.