试题详情

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．C  2．D  3．A  4．A  5．B  6．D   7．B   8．C  9．D  10．A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。

11．            12．0.94             13．（0，）            14．78

15．．球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

三、解答题

16．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识，以及运用三角函数的图像和性质的能力。

解：（Ⅰ）∵

         ∴的最大值为，最小正周期是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即成立的的取值集合是.

17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、

50％、10％。

（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为（人）；抽取的中年人数为

50％＝75（人）；抽取的老年人数为10％＝15（人）。

18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM, AMNM，所以MN为二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,

连N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。在中，H＝M。故点到平面AMN的距离为1。

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,

C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，

，,。

因为

所以,同法可得。

故??为二面角―AM―N的平面角

∴??＝

故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得

 故可取

设与n的夹角为a，则。

所以到平面AMN的距离为。

19.本小题主要考查层数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。

解：依题意有而

故 解得  从而

。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

（1）       若，即，则当时，；

当时，；当时，；

从而的单调增区间为；单调减区间为

（2）       若，即，同上可得，

的单调增区间为；单调减区间为

20.本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。

解：（I）依题意得，即。

当n≥2时，a;

当n=1时，×-2×1-1-6×1-5

所以。

（II）由（I）得，

故=。

因此，使得?成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。

21．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：（I）依题意得解得  从而b=,

故椭圆方程为。

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。设。

点在椭圆上，。

又点异于顶点

曲三点共线可得.

从面

.

将①式代入②式化简得

>0,>0.于是为锐角,从而为钝角,故点在以为直径的圆内.

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为。

点M、N分别在直线AP、BP上，

＝（＋2），＝（－2）.从而＝（＋2）（－2）.③

联立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0.

，－2是方程得两根，（－2）．，即＝.  ④

又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋.   ⑤

于是由③、④式代入⑤式化简可得

．＝（－2）.

N点在椭圆上，且异于顶点A、B，<0.

又，> 0, 从而．<0.

故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内.

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（，），N（，），则－2<<2 , －2<<2.又MN的中点Q的坐标为（），

化简得－＝（－2）（－2）＋.                      ⑥

直线AP的方程为，直线BP的方程为.

点P在准线x＝4上，

，即.                                  ⑦

又M点在椭圆上，＋＝1，即                   ⑧

于是将⑦、⑧式化简可得－＝.

从而B在以MN为直径的圆内.

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）（编辑：宁冈中学张建华）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题  共50分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、集合P＝｛x|x²－16<0｝,Q＝｛x|x＝2n，nZ｝,则PQ＝（C）

A.｛-2,2｝     B.｛－2，2，－4，4｝    C.｛－2，0，2｝     D.｛－2，2，0，－4，4｝

解：P＝｛x|x²－16<0｝＝｛x|－4<x<4｝，故PQ＝｛－2，0，2｝，故选C

2、已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则（D）

A.                B.  4              C.               D. 2

解：由a＋2b与a－2b互相垂直Þ（a＋2b）?（a－2b）＝0Þa²－4b²＝0

即|a|²＝4|b|²Þ|a|＝2|b|，故选D

3、已知，A∈（0，），则（A）

A.              B．         C．              D．

解：由sin2A＝2sinAcosA＝>0，又A∈（0，）所以AÎ（0，），所以sinA＋cosA>0

又（sinA＋cosA）²＝1＋2sinAcosA＝故选A

4、在等比数列｛a_n｝中，a₁＝1，a₁₀＝3，则a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉＝（ A  ）

A. 81              B.  27             C.               D. 243

解：因为数列｛a_n｝是等比数列，且a₁＝1，a₁₀＝3，所以a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉＝

（a₂a₉）（a₃a₈）（a₄a₇）（a₅a₆）＝（a₁a₁₀）⁴＝3⁴＝81，故选A

5、甲：A₁、A₂是互斥事件；乙：A₁、A₂是对立事件，那么（B）

A. 甲是乙的充分但不必要条件        B. 甲是乙的必要但不充分条件

C. 甲是乙的充要条件                D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。故选 B

6、关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：（D）

①若且，则；

②若且，则；

③若且，则；

④若且，则；

其中真命题的序号是

A．①②    B．③④    C．①④    D．②③

解：用排除法可得选D

7、设f(x)＝，则的定义域为

A.    B.(－4,－1)(1，4)   C. (－2,－1)(1，2)  D. (－4,－2)(2，4)

解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4

故选B

8、在的展开式中，x的幂的指数是整数的有（C）

A. 3项              B. 4项               C. 5项             D. 6项

解：，当r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C

9、设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，则点P的轨迹方程是（ D  ）

A.             B.      

C.             D.

解：设P（x，y），则Q（－x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a>0，b>0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得

故选D

10、关于x的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是（ A  ）

A．0              B．1                  C．2                 D．3

解：关于x的方程可化为…………（1）

或（－1<x<1）…………（2）

①     当k＝－2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根

②     当k＝时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根

③     当k＝0时，方程（1）的解为－1，＋1，±，方程（2）的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根

④     当k＝时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根

选A

第Ⅱ卷（非选择题   共100分）

注意事项：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝.

解：由正弦定理易得结论。

12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为精确到0．01）

解：P＝＝0.94

13、若直线y＝kx＋2与圆(x－2)²＋(y－3)²＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是.

解：由直线y＝kx＋2与圆(x－2)²＋(y－3)²＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即<1，解得kÎ(0，)

14、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是.(用数字作答)

解：分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有种排法

（2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有种排法

故共有78种不同排法

15、半径为r的圆的面积S(r)＝r²,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r²)`＝2r  1，

1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于1的式子：2

2式可以用语言叙述为：。

解：V_球＝，又 故2式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）

设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a?(a＋b).

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。

解：（Ⅰ）∵

         ∴的最大值为，最小正周期是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即成立的的取值集合是.

17、（本小题满分12分）

某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定

（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

解：（Ⅰ）设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、

50％、10％。

（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为（人）；抽取的中年人数为

50％＝75（人）；抽取的老年人数为10％＝15（人）。

18、（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN＝2C₁N.

（Ⅰ）求二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求点B₁到平面AMN的距离。

解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM, AMNM，所以MN为二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,

连N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。在中，H＝M。故点到平面AMN的距离为1。

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,

C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，

，,。

因为

所以,同法可得。

故??为二面角―AM―N的平面角

∴??＝

故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得

 故可取

设与n的夹角为a，则。

所以到平面AMN的距离为。

19、（本小题满分12分）

设函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。

解：依题意有而

故 解得  从而

。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

（3）       若，即，则当时，；

当时，；当时，；

从而的单调增区间为；单调减区间为

（4）       若，即，同上可得，

的单调增区间为；单调减区间为

20、（本小题13分）

设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。

解：（I）依题意得，即。

当n≥2时，a;

当n=1时，×-2×1-1-6×1-5

所以。

（II）由（I）得，

故=。

因此，使得?成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。

21、（本小题满分13分）

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。