台州市2009年高三年级第二次调考试题
数 学（理科） 2009.4
命题：陈传熙(玉环县玉城中学) 许彪(台州中学)
审卷：李继选(台州一中)
注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上．
参考公式：
如果事件
，
互斥，那么
棱柱的体积公式
如果事件，相互独立，那么
其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高
棱锥的体积公式
在
次独立重复试验中事件恰好
发生
次的概率是
，
其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
其中
表示在一次试验中事件发生的概率 棱台的体积公式
球的表面积公式 
球的体积公式 
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，
其中
表示球的半径
表示棱台的高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合
，
，则集合
不可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在
的展开式中，常数项为
（A）－28 （B）－70 （C）70 （D）28
3．已知两条不同的直线
，
与三个不同的平面
，
，
，满足
， 
，
，
，那么必有
（A）
，
（B），
（C）， （D）
，
4．在等比数列
中，
，
，
，则
（A）16 （B）27 （C）36 （D）81
5．已知
均为实数，则“
”是“关于
一元二次不等式
的解集为”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为
（A）双曲线 （B）椭圆 （C）圆 （D）抛物线
7．若对
，
，使
≤
成立，则
（A）
（B）
（C）
（D）
8．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为
的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为
（A）
（B）
（C）4
（D）8
9．将三个分别标有A，B，C的小球随机地放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，则第1号盒子内有球的不同放法的总数为
（A）27 （B）37 （C）64 （D）81
10．已知向量
，
，
满足
，
，
?
．若对每一确定的,
的最大值和最小值分别为, 
, 则对任意,
的最小值是
（A）
（B） （C）
（D）1
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．已知复数
，则
▲ ．
12．某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过
，否则视为违规扣分．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为 ▲
辆．
13．已知等差数列的前项和为
，且过点
和
的直线的斜率是4，若
，则
▲ ．
14．某个缺水地区为了提倡居民节约用水和控制用水浪费现象，实行了水费的分段计价，其计价的流程如图所示．其中输入为居民每月的用水量（单位：吨），输出为相应的水费（单位：元）．已知某户居民某月用水量为
吨，则该户居民用水超过20吨的部分应缴纳的水费为 ▲
．
15．已知向量
，
，其中
为连续两次投掷骰子得到的点数，则
的夹角能成为直角三角形的内角的概率是 ▲
．
16．若
是定义在R上的奇函数，且当
时，
；当
时，
．则函数
的零点有 ▲ 个．
17．已知点
，如果直线
经过点，那么实数的取值范围是 ▲
．
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
已知函数
．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）已知
，且
，求的值．
19．（本小题满分14分）
一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求：
（Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率；
（Ⅱ）摸球次数
的概率分布列和数学期望．
20．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱
中，
，顶点
在
底面
上的射影恰为B点，且
．
（Ⅰ）分别求出
与底面，棱BC所成的角；
（Ⅱ）在棱
上确定一点P，使
，并求出
二面角
的平面角的余弦值．
21．（本小题满分15分）
已知椭圆
的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆
交于
两点，且
（
为坐标原点），
于
点．试求点的轨迹方程．
22．（本小题满分15分）
已知函数
，
，其中无理数
．
（Ⅰ）若
，求证：
；
（Ⅱ）若在其定义域内是单调函数，求
的取值范围；
（Ⅲ）对于区间（1，2）中的任意常数，是否存在
使
成立？若
存在，求出符合条件的一个
；否则，说明理由．
数 学（理科） 2009.4
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
C
C
B
B
二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．
11．
－1 12． 110 13． 78 14．
15．
16． 7 17．
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（Ⅰ）解：
．……………………… 4分
由
，解得 
．
所以函数
的单调递增区间为 
．…………… 7分
（Ⅱ）解：由
，得
．故
．……………… 10分
于是有 
，或
，
即
或
．因
，故
．……………… 14分
19．（Ⅰ）解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：
开心心，心开心，心心开，心心乐．
则恰好摸到2个“心”字球的概率是
．………………………………………6分
（Ⅱ）解：
，
则 
，
，
．…………………………………………10分
故取球次数
的分布列为
1
2
3
．…………………………………………………14分
20．（Ⅰ）解：因
在底面
上的射影恰为B点，则
⊥底面．
所以
就是
与底面所成的角．
因
，故 
，
即与底面所成的角是
．……………………………………………3分
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则
，
，
．
则
，
故与棱BC所成的角是
．…………………………………………………7分
（Ⅱ）解：设
，则
．于是
（
舍去），
则P为棱
的中点，其坐标为
．…………………………………………9分
设平面
的法向量为
，则
，故
．…………………11分
而平面
的法向量是
，
则
，
故二面角的平面角的余弦值是
．………………………………14分
21．（Ⅰ）解：由题意知：
，
，
，解得
．
故椭圆的方程为
．…………………………………………………5分
（Ⅱ）解：设
，
⑴若
轴，可设
，因
，则
．
由
，得
，即
．
若
轴，可设
，同理可得
．……………………7分
⑵当直线
的斜率存在且不为0时，设
，
由
，消去
得：
．
则
．………………………………………9分
．
由，知
．
故 
，即
（记为①）．…………11分
由
，可知直线
的方程为
．
联立方程组
，得 
（记为②）．……………………13分
将②代入①，化简得
．
综合⑴、⑵，可知点
的轨迹方程为.………………………15分
22．（Ⅰ）证明：当
时，
．令
，则
．
若
，
递增；若
，递减，
则
是的极（最）大值点．于是
，即
．故当时，有
．………5分
（Ⅱ）解：对
求导，得
．
①若，
，则在
上单调递减，故合题意．
②若
，
．
则必须
，故当
时，在上单调递增．
③若
，
的对称轴
，则必须
，
故当时，在上单调递减．
综合上述，
的取值范围是
．………………………………10分
（Ⅲ）解：令
．则问题等价于
找一个
使
成立，故只需满足函数的最小值
即可．
因
，
而
，
故当
时，
，
递减；当
时，
，递增．
于是，
．
与上述要求相矛盾，故不存在符合条件的
．……………………15分