绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修II）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至10页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（共60分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，P(A?B)=P(A)?P(B)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
得分
评卷人
（13）若 .
（14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .
（15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .
（15题图）
（16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=
②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2
③若sin(+)= ,则sin(+)=,则tancot=5
④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.
（16题图）
得分
评卷人
（17）已知f(x)=Asin()(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).
得分
评卷人
（18）（本小题满分12分）
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。
得分
评卷人
（19）（本小题满分12分）
如图ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱锥V-A1B1C1的底面ABC，等边∆ AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ABC=90°，设AC=2a,BC=a.
（1）求证直线B1C1是异面直线与A1C1的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小.
（19题图）
得分
评卷人
(20) （本小题满分12分）
袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量的概率分布和数学期望；
(3)计分介于20分到40分之间的概率.
得分
评卷人
（21）（本小题满分12分）
双曲线C与椭圆有相同的热点，直线y=为C的一条渐近线.
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 过点P(0,4)的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 =，且时，求Q点的坐标.
得分
评卷人
（22）（本小题满分14分）
已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（3） 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.
（1）―（12）DACBD BBAAD CC
(13) 2 (14) 32 (15) (16)34
（1）定义集合运算：A⊙B=｛z?z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ D ）
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
解：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D
（2）函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是（ A ）
（A） （B） （C） （D）
解：函数y=1+ax(0<a<1)的反函数为，它的图象是函数向右移动1个单位得到，选A
(3)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ C ）
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解：令>2（x<2），解得1<x<2。令>2（x³2）解得xÎ（，+∞）
选C
（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=（ B ）
(B) 1 （B）2 （C）―1 （D）
解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，选B
（5）设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（ D ）
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
解：设d＝（x，y），因为4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，选D
(6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ B ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数
f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选C
（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ B ）
(A) (B) (C) (D)
解：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B
（8）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的（ A ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解：p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－1<x<1或x>2，借助图形知选A
（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ A ）
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A
（10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中=－1，则展开式中常数项是（ A ）
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
解：第三项的系数为－，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为－可得n＝10，
则＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为＝45，选A
（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是（C ）
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解：画出可行域：
易得A（5.5，4.5）且当直线z＝10x＋10y过A点时，
z取得最大值，此时z＝90，选C
（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（ C ）
(A) (B) (C) (D)
（12题图）
解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C
绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修II）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
得分
评卷人
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.
（13）若 2 .
解：
（14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则的最小值是 32 .
解：显然³0，又＝4（）³8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。
（15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .
（15题图）
解：易证B1^平面AC1，过A点作AG^CD，则
AG^平面B1DC，于是ÐADG即ÐADC为直线AD 与平面B1DC所成角，由平面几何知识可求得它的正弦值为。
（16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=
②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2
③若sin(+)=，sin(－)=,则tancot=5
④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.
解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2|
②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=的距离为
>半径2，故圆与直线相离，
③正确，sin(+)=＝sincos＋cossin
sin(－)＝sincos－cossin＝
两式相加，得2 sincos＝，
两式相减，得2 cossin＝，故将上两式相除，即得tancot=5
④正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，
点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义
可知点P的轨迹是抛物线。
（16题图）
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.
（I）求
（II）计算.
解：（I）
的最大值为2，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
.
过点，
又
.
（II）解法一：，
.
又的周期为4，，
解法二：
又的周期为4，，
18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.
解：由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表
―
0
+
极小值
从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
19．（本小题满分12分）
（1）求证直线是异面直线与的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角的大小。
解法1：
（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，
又∵平面⊥平面，平面∩平面，
∴⊥平面，
，
又，.
为与的公垂线.
（Ⅱ）解法1：过A作于D，
∵△为正三角形，
∴D为的中点.
∵BC⊥平面
∴，
又，
∴AD⊥平面，
∴线段AD的长即为点A到平面的距离.
在正△中，.
∴点A到平面的距离为.
解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.
由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，
，
即，解得.
即A到平面的距离为.
则
所以，到平面的距离为.
(III)过点作于，连，由三重线定理知
是二面角的平面角。
在中，
。
。
所以，二面角的大小为arctan.
解法二：
取中点连,易知底面，过作直线交。
取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。
（I），，
，
。
又
由已知。
，
而。
又显然相交，
是的公垂线。
（II）设平面的一个法向量，
又
由
取 得
点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。
，设所求距离为。
则
所以，A到平面VBC的距离为.
（III）设平面的一个法向量
由
取
二面角为锐角，
所以，二面角的大小为
20．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率。
解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为
所以.
（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.
所以随机变量的概率分布为
2
3
4
5
因此的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则
21．（本小题满分12分）
双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由椭圆
求得两焦点为，
对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
解得 ，
双曲线的方程为
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程：，
则
在双曲线上，
同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根.
，
此时.
所求的坐标为.
解法二：
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，，则.
，
分的比为.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则.
，
.
，
，，
又，
即
将代入得
，否则与渐近线平行。
。
解法四：
由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，
则
,
。
同理
.
即 。 （*）
消去y得.
当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。
由韦达定理有：
代入（*）式得
所求Q点的坐标为。
22．（本小题满分14分）
已知，点在函数的图象上，其中
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求及数列的通项；
（3）记，求数列的前项，并证明
解：（Ⅰ）由已知，
，两边取对数得
，
即
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（*）
=
由（*）式得
（Ⅲ）
又
又
.