文科试题（必修＋选修Ⅰ）
注意事项：
１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2+x－6=0}， 则P∩Q等于( )
A． {2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．函数f(x)= (x∈R)的值域是( )
A．(0，1) B．(0，1] C．[0，1) D．[0，1]
3． 已知等差数列{an}中，a2+a8=8，则该数列前9项和S9等于( )
A．18 B．
4．设函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(0， 0)，其反函数的图像过点(1，2)，则a+b等于( )
A．6
B．
5．设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，则a 的值为( )
A．± B．±2 B．±2 D．±4
6． “α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+γ)=sin2β成立”的( )
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．设x，y为正数， 则(x+y)( + )的最小值为( )
A． 6 B．
8．已知非零向量与满足(+)?=0且?= ， 则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
9． 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，若x1<x2 ， x1+x2=0 ， 则( )
A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)=f(x2) C．f(x1)>f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
10．
已知双曲线
(a>)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．
11．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( )
A．平面ABC必平行于α B．平面ABC必与α相交
C．平面ABC必不垂直于α D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，
A．4，6，1，7 B．7，6，1，
第二部分（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
14．(2x－)6展开式中常数项为 (用数字作答)
15．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种 ．
16．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。
17．(本小题满分12分)
甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是， ， ．现3人各投篮1次，求:
(Ⅰ)3人都投进的概率;
(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率．
18． (本小题满分12分)
已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
19． (本小题满分12分)
如图，α⊥β，α∩β=l ， A∈α， B∈β，点A在直线l 上的射影为A1， 点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1， BB1=， 求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α，β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小．
20． (本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an ．
21． (本小题满分12分)
如图，三定点A(2，1)，B(0，－1)，C(－2，1); 三动点D，E，M满足=t， = t ， =t ， t∈[0，1]． (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程．
22．（本小题满分１4分）
已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0)．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于0， 求k的取值范围．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
B
A
B
D
A
D
D
C
1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，……，10}，集合Q={x∈R | x2+x－6=0} =
， 所以P∩Q等于{2} ，选A．
2．函数f(x)= (x∈R)，∴ 
，所以原函数的值域是(0，1] ，选B.
3．
已知等差数列{an}中，a2+a8=8，∴ 
，则该数列前9项和S9=
=36，选C.
4．函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(0，0)，其反函数的图象过点(1，2)，
则
，∴
，a=3，则a+b等于4，选C.
5．直线过点(0，a)，其斜率为1，
且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为
，圆心(0，0)道直线的距离等于半径
，∴ 
，∴ a 的值±2，选B．
6．若等式sin(α+γ)=sin2β成立，则α+γ=kπ+(－1)k?2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件。选A．
7．x，y为正数，(x+y)(
)≥
≥9，选B.
8．已知非零向量与满足(
)?=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又
= ，∠A=
，所以△ABC为等边三角形，选D．
9．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为
，a>0，∴ x1+x2=0，x1与x2的中点为0，x1<x2，∴ x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，∴ f(x1)<f(x2) ，选A．
10．已知双曲线
(a>)的两条渐近线的夹角为，则
，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．
11．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE//BC，DE在α内，所以选D．
12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，
则
，解得
，解密得到的明文为C．
二、填空题
13．－ 14．60 15．1320 16．3R
13．cos43°cos77°+sin43°cos167°=
=－
．
14．(2x－)6展开式中常数项
.
15．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，可以分情况讨论，① 甲去，则乙不去，有
=480种选法；②甲不去，乙去，有=480种选法；③甲、乙都不去，有
=360种选法；共有1320种不同的选派方案．
16．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．
三、解答题
17．解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A1 ， "乙投进"为事件A2 ， "丙投进"为事件A3，
则 P(A1)= ， P(A2)= ， P(A3)= ，
∴ P(A
∴3人都投进的概率为
(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B
P(B)=P(A
=P()?P(A2)?P(A3)+P(A1)?P()?P(A3)+P(A1)?P(A2)?P()
=(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) =
∴3人中恰有2人投进的概率为
18．解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)
= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
=2sin[2(x－)－]+1
= 2sin(2x－) +1
∴ T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)}．
19．解法一: (Ⅰ)如图， 连接A1B，AB1， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA1⊥l， BB1⊥l，
∴AA1⊥β， BB1⊥α． 则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．
Rt△BB1A中， BB1= ， AB=2， ∴sin∠BAB1 = = ． ∴∠BAB1=45°．
Rt△AA1B中， AA1=1，AB=2， sin∠ABA1= = ， ∴∠ABA1= 30°．
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．
(Ⅱ) ∵BB1⊥α， ∴平面ABB1⊥α．在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=． ∴Rt△AA1B中，A1B== = ． 由AA1?A1B=A1F?AB得 A1F== = ，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE = = ， ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin．
解法二: (Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ) 如图，建立坐标系， 则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一点F(x，y，z)，则存在t∈R，使得=t ， 即(x，y，z－1)=t(，1，－1)， ∴点F的坐标为(t， t，1－t)．要使⊥，须?=0， 即(t， t，1－t) ?(，1，－1)=0， 2t+t－(1－t)=0，解得t= ， ∴点F的坐标为(，－， )， ∴=(，， )． 设E为AB1的中点，则点E的坐标为(0，， )． ∴=(，－，)．
又?=(，－，)?(，1，－1)= － － =0， ∴⊥， ∴∠A1FE为所求二面角的平面角．
又cos∠A1FE= = = = = ，
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos．
20．解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
21．解法一: 如图， (Ⅰ)设D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由=t， = t ，
知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)． ∴ 同理 ．
∴kDE = = = 1－2t． ∴t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1]．
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)． ∴ ， ∴y= ， 即x2=4y． ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．
即所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]
解法二: (Ⅰ)同上．
(Ⅱ) 如图， =+ = + t
= + t(－) = (1－t) +t，
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t，
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 ．
设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得
消去t得x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．
故所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]
22．解: （I）当k=0时， f(x)=－3x2+1 ∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间[0，+∞)．
当k>0时 ， f '(x)=3kx2－6x=3kx(x－)
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0] ， [ ， +∞)， 单调减区间为[0， ]．
（II）当k=0时， 函数f(x)不存在最小值．
当k>0时， 依题意 f()= － +1>0 ，
即k2>4 ， 由条件k>0， 所以k的取值范围为(2，+∞)