1．若 ，且，则是                                  （     ）

 A．第一象限角                       B．第二象限角        

C．第三象限角                       D．第四象限角

2．对于向量、、和实数，下列命题中真命题是                       （     ）

A．若，则                 B．若，则

C．若，则或        D．若，则=0

3．设函数的图象关于点（2，1）对称，且存在反函数．若，则的值是（     ）

  A．-1             B．1            C．2              D．3

4．已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中的真命题是           （     ）

     A．如果，那么

       B．如果，那么

C．如果共面，那么∥

D．如果∥,，,那么

5．从原点向圆引两条切线，则两条切线所夹的劣弧的长是           （     ）

    A．              B．             C．            D．

6．若集合，，则“”是“”的 （     ）

A．充分不必要条件                B．必要不充分条件         

C．充分必要条件                  D．既不充分也不必要条件  

7． 在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ）

Ａ．    Ｂ．        

Ｃ．    Ｄ．

8．设为大于零的常数，则函数的最小值是                 （     ）

A．          B．         C．        D．

第Ⅱ卷（ 共110分）

注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

题 号

二

                   三

总分

9

10

11

12

13

14

15

  16

  17

  18

  19

  20

分 数

得分

评卷人

9．设为虚数单位，=              ．

 10．的展开式中常数项是            ．

 11．从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科1人．若学生甲不能参加物理竞赛，则不同的参赛方案共有             种(用数字作答)．

12．直线与的公共点的坐标是         ；设动点的坐标满足约束条件 且为坐标原点，则的最小值为            ．

13．已知双曲线的右焦点为，为双曲线左准线上的点，且交双曲线于第一象限一点，若为坐标原点，且垂直平分，则双曲线的离心率=           ．

14． 给出如下三角形数表：

1

2  2

3   4  3

4   7   7  4

5  11  14  11  5

6  16  25  25  16  6

……………………

此数表满足：① 第行首尾两数均为，② 表中数字间的递推关系类似于杨辉三角，即除了“两腰”上的数字以外，每一个数都等于它上一行左右“两肩”上的两数之和．第行第个数是_____________．

得分

评卷人

15．（本小题满分13分）

在中，角所对的边的长分别为，且满足．

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若，求的值．

得分

评卷人

 16．（本小题满分13分）

某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：

血型

A

B

AB

O

人数

20

10

5

15

（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；

（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；

（Ⅲ）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A,O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

得分

评卷人

17．（本小题满分14分）

如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1=4，AB=2， E是棱CC1上的一个动

  点．

   （Ⅰ）求证：BE∥平面AA1D1D；

   （Ⅱ）当CE=1时，求二面角B―ED―C的大小；

   （Ⅲ）当CE等于何值时，A1C⊥平面BDE．

得分

评卷人

18．（本小题满分13分）

已知数列满足，点在直线上，数列满足，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

得分

评卷人

19．（本小题满分13分）

已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，且到椭圆的右准线的距离为，点为上的动点，直线交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的面积的取值范围；

（Ⅲ）设，，求证为定值．

得分

评卷人

20．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．

北京市朝阳区高三统一考试

     数学试卷答案(理科)      2009．2

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

A

C 

C

A

B

B

9．      10． 15      11． 48      12．； 5     13．   

14．

15．解：（Ⅰ）  因为，所以．

所以．即=0．

在中，,所以=0，得．  ┅┅┅┅5分

（Ⅱ）因为，所以．

    又因为是的内角，所以．

所以．        ┅┅┅┅13分

16． 解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A型”为事件A，那么，

即这2人血型都为A型的概率是．                 ┅┅┅┅4分

（Ⅱ）记“这2人血型相同”为事件B，那么，

所以这2人血型相同的概率是．                         ┅┅┅┅8分

（Ⅲ）随机变量可能取的值为0，1，2．且，

，．

所以的分布列是

0

1

2

的数学期望为E=0×+1×+2×=．┅┅┅┅13分

17．解法（一）

（Ⅰ）证明： 由已知，为正四棱柱，

所以平面BB1C1C∥平面AA1D1D,

又因为BE平面BB1C1C，

所以，BE∥平面AA1D1D．                 ┅┅┅┅4分

（Ⅱ）解：如图1，过C作CH⊥ED于H，连接BH．

因为为正四棱柱，所以BC⊥平面C1CDD1.

则CH是斜线BH在面C1CDD1上的射影,所以BH⊥ED．

       所以∠BHC是二面角B―ED―C的平面角．

在RtECD中，易知．

因为,所以．

在RtBCH中，,所以,

所以,二面角B―ED―C的大小是．┅┅┅┅9分

（Ⅲ）如图2，连结AC交BD于点O,

因为为正四棱柱，AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，

由三垂线定理可知，A1C⊥BD．

连结B1C，因为A1B1⊥平面B1BCC1，

所以B1C 是A1C在平面B1BCC1上的射影．

要使A1C⊥平面BDE，只需A1C⊥BE，由三垂线定理可知，只需B1C⊥BE．

      由平面几何知识可知，

B1C⊥BE BCE∽B1BC ．

由已知BB1=AA1=4，BC=AB=2，所以．

即当时, A1C⊥平面BDE．                         ┅┅┅┅14分

解法（二）建立空间直角坐标系A―xyz，如图．

（Ⅰ）证明： 依题意可设E（2，2，z）,

因为B（2，0，0）, 所以=（0，2，z）．

又因为, 为平面AA1D1D的法向量．

且，

所以，  而BE平面AA1D1D，

所以，BE∥平面AA1D1D．

（Ⅱ）因为CE=1，所以E（2，2，1）,又B（2,0,0）,D(0,2,0),

所以=（0，2，1）, ．

  设平面BDE的法向量为,

由得  所以

所以．又面,所以为平面CDE的法向量．

因为,所以．

由图可知,二面角的平面角小于,所以二面角B―ED―C的大小是．

（Ⅲ）解：连结AC交BD于点O．

因为为正四棱柱，

所以AC⊥BD．

要使A1C⊥平面BDE，只需A1C⊥BE．

由题意B（2，0，0），C（2，2，0），A1（0，0，4），

设CE=x，则E（2，2，x），

所以, ．

由，得，

解得．  所以CE=1时，A1C⊥平面BDE．

18． 解：（Ⅰ）由点在直线上，所以．

则数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以．

由，

则 = ，()

两式相减得：

,．即数列的前项和,．

当时，，所以.

当时，．

所以．                                ┅┅┅┅7分

（Ⅱ）因为，所以．

   当时，，

    当时，

设．

令，则，

两式相减得：

点到直线的距离，

所以的面积，

，

由题知且，于是，

故的面积的取值范围是．                 ┅┅┅┅9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得

，，

于是，，

所以．

因为，

所以，即为定值．                       ┅┅┅┅14分

20．（Ⅰ）解：⑴当时, ,

．

由得, 解得或．

注意到,所以函数的单调递增区间是．

由得,解得,

注意到,所以函数的单调递减区间是．

⑵当时，，，

由得,解得，

注意到,所以函数的单调递增区间是．

由得,解得或，

由,所以函数的单调递减区间是．

综上所述，函数的单调递增区间是，；

单调递减区间是，．                  ┅┅┅┅5分

（Ⅱ）当时,，

所以，

设.

⑴当时，有, 此时,所以,在上单调递增．

    所以

⑵当时,．

     令,即,解得或(舍);

令,即,解得．

①若,即时, 在区间单调递减，

所以．

②若,即时, 在区间上单调递减,

在区间上单调递增,所以．

③若,即时, 在区间单调递增，

所以．

综上所述,当或时, ;

        当时, ;

当时, ．                   ┅┅┅┅13分