A．15                      B．-15                     C．20                      D．-20

8．平面内有两个定点A、B，动点P满足|AP|=2|PB|，则点P的轨迹是                   （    ）

       A．直线                   B．双曲线               C．椭圆           D．圆

9．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=- f（x），则f（9）的值为           （    ）

       A．-1                       B．0                        C．1                        D．2

10．将4个不同颜色的小球全部放入不同标号的3个盒子中，每个盒子都不空的放法种数为

                                                                                                                              （    ）

       A．96                      B．81                      C．64                      D．36

11．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是（    ）

       A．16π                   B．20π                   C．24π                   D．32π

12．已知点A（2，2），P为双曲线上一动点，F为双曲线的右焦点

       则|PA|+|PF|的最小值为                                                                                     （    ）

       A．                      B．4                        C．            D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

13．已知实数x、y满足，则的最大值为                。

14．将直线l按向量a=（2，-1）平移后得到直线l′，再将直线l′按向量b=（-1，2）平移

       后又与直线l重合，则直线l的斜率为                    。

15．若正数a、b满足，则的最小值为                     。

16．已知，则a、b、

       c的大小关系为                        。

17．（本小题满分10分）

       已知函数

   （1）求函数的单调增区间；

   （2）求函数的最值及取得最值时x的值。

18．（本小题满分12分）

       在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知

   （1）判断△ABC的形状；

   （2）若，求△ABC的面积。

19．（本小题满分12分）

       如图，四棱锥P―ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点

       E、F分别为棱AB、PD的中点。

   （1）求证：AF∥平面PCE；

   （2）求二面角E―PD―C的大小；

   （3）求点A到平面PCE的距离。

20．（本小题满分12分）

       已知数列{a_n}满足关系式，设

   （1）求证：数列{b_n}为等比数列；

   （2）求a_n及S_n；

   （3）设c_n= S_n+na_n，T_n为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜1.

21．（本小题满分12分）

       已知直线l：y=kx+1交曲线C：y=ax²（a＞0）于P、Q两点，M为PQ中点，分别过P、

       Q两点作曲线C的切线，两切线交于点N，当k变化时。

   （1）求点M的轨迹方程；

   （2）求点N的轨迹方程；

   （3）求证：MN中点必在曲线C上。

22．（本小题满分12分）

       设f（x）=ax²+bx+c，若6a+2b+c=0，f（1）f（3）＞0，

   （1）求证：a≠0且；

   （2）求证：方程f（x）=0在区间（0，4）内必有两个实根x₁、x₂，且≤| x₁- x₂|＜3

数 学 参 考 答 案（理）

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

1．B  2．C  3．D  4．C  5．B  6．A  7．A  8．D  9．B  10．D  11．A  12．C

简答与提示：

1．∵，，

   ∴M∩N=（0，1），故选B。

2．∵

   ，故选C。

3．取a=1，b=-2，可验证A、B、C均不正确，故选D。

4．垂直于同一直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面，故选C。

5．考虑0＜m＜5或m＞5两种情况，若0＜m＜5，则， ，

   ，故

   选B。

6．∵，故选A。

7．的展开式中常数项为第3项，故选A。

8．可建立平面直角坐标系求出轨迹方程，根据方程形式可判断轨迹为圆，或由平面几何中

   相关定理可知轨迹是圆，故选D。

9．由f（x+2）=- f（x）可得f（x+4）=- f（x+2）= f（x），所以函数f（x）为周期函数，最小

   正周期为T=4，f（9）= f（1）=- f（-1），又函数f（x）为偶函数，所以f（1）=

    f（-1）=0，所以f（9）=0，故选B。

10．=36，故选D。

11．由，可利用三角形相似计算出r=2，S_球=4πr²=16π，故

       选A。

12．设双曲线的左焦点为由双曲线定义可知，,

       故选C。

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

13．7                              14．1                       15．                     16．

简答与提示：

13．画出可行域，如右图所示，在点A（5，3）处取得

       最大值为7.

14．设直线l方程为y=kx+b，按向量a=（2，-1）平移

       后得到按向量b=（-1，2）平移后得直线方程为

：k：y=k(x-2)+b-1再将（x+1-2）+b-1+2=kx-k+b+1，

       又与直线l重合，∴-k+b+1=b，∴k=1.

15．∵

16．

       c=4cos36cos54cos72=4sin36cos36cos72=2sin72cos72=sin144=sin36，

       ∴

17．解：本小题主要考查三角恒等变换及三角函数图象和性质。

   （1）

                                                      （4分）

       ∴当

       即时，函数为增函数，

       ∴增区间为                                                          （6分）

   （2）当，即，时

       当，即，时 （10分）

18．本小题主要考查正余弦定理的应用及三角恒等变换。

       解：（1）∵

       ∴

       ∴sinA=2cosBsinC，

       又∵sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

       ∴sinBcosC+ cosBsinC=2cosBsinC，

       ∴sinBcosC- cosBsinC= sin（B-C）=0

       ∴在△ABC中B=C，

       ∴△ABC为等腰三角形

       另解：∵，

       ∴a²+c²-b²=a²，

       ∴c²=b²

       ∴c=b

       ∴△ABC为等腰三角形

   （2）∵，

       ∵，

       ∴，

       ∴。                                           （12分）

       另解：b=3，∴c=b=3

       又∵

       ∴

       ∴

19．本小题主要考查空间线面关系，空间想象能力和推理运算能力或空间向量的应用。

       解法一：

   （1）证明：

       取PC的中点G，连接FG、EG，

       ∴FG为△PCD的中位线，

       ∴FG=CD且FG∥CD，

       又∵底面四边形ABCD是正方形，E为棱AB的中点，

       ∴AE=CD且AE∥CD，

       ∴AE=FG且AE∥FG，

       ∴四边形AEGF是平行四边形，

       ∴AF∥EG，

       又EG平面PCE，AF平面PCE，                                                              （4分）

       ∴AF∥平面PCE。

   （2）∵PA⊥底面ABCD，

       ∴PA⊥AD，PA⊥CD，

       又AD⊥CD，PAAD=A，

       ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF

       又PA=2，PDA=45°，

       ∴PA=AD=2，

       ∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，

       又CDPD=D，

       ∴AF⊥平面PCD，

       ∵AF∥EG，

       ∴EG⊥平面PCD，

       又GF⊥PD，连结EF，

       则GFE是二面角E―PD―C的平面角。                                                      （6分）

       在Rt△EGF中，EG=AF=，GF=1，

       ∴tanGFE=

       ∴二面角E―PD―C的大小为arctan。                                                      （8分）

   （3）设A到平面PCE的距离为h，

       由

       ∴点A到平面PCE的距离为

       解法二：

   （1）由于PA⊥底面ABCD，且底面四边形ABCD是正方形，以A为坐标原点建立空间

       直角坐标系如图，

       ∵PA=2，，PDA=45°，∴AD=AB=PA=2，

       ∴A（0，0，0），B（2，0，0）, C（2，2，0）,

       D（0，2，0）, P（0，0，2）

       ∵点E、F分别为棱AB、PD的中点，

       ∴E（1，0，0），F（0，1，1），取

       PC的中点G，连结EG，则G（1，1，1），

       ∴（0，1，1），=（0，1，1），

       ∴AF∥EG，

       又∵EG平面PCE，AFPCE，

       ∴AF∥平面PCE。                                                                                          （4分）

   （2）设平面PDE的法向量为

       ∵

       ∴

       设平面PCD的法向量为

       ∵

       ∴                                          （6分）

       ∴

       ∴二面角E―PD―C的大小为arccos。                                                      （8分）

   （3）设平面PCE的法向量

       ∵

       ∴                              （10分）

       ∵，∴点A到平面PCE的距离      （12分）

20．本小题主要考查利用递推关系求通项公式的方法，错位相减法和及转化思想。

   （1）证明：∵

       ∴，                                                               （2分）

       ∴

       ∴

       又由，

       ∴数列{b_n}是以为首项，以为公比的等比数列。                                      （4分）

   （2）由（1）知数列{b_n}是以为首项，以为公比的等比数列，∴b_n=，

       ∴也合适，

       ∴。（n∈N*）

       ∴                                                                                          （8分）

   （3）

       ∴                                          （12分）

21．本小题主要考查直线与抛物线位置关系及弦中点问题，轨迹的求法。

   （1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

       由

       ∴       ∴

       ∴

       ∴点M的轨迹方程为抛物线y=2ax²+1                                                              （4分）

   （2）设以点P（x₁，y₁）为切点的曲线C的切线方程l₁：y-y₁= k₁（x-x₁）

       将l₁方程代入曲线C：y=ax²并整理得

       ax²- k₁x-y₁+k₁x₁=0，

       △=

       ∴k₁=2ax₁，（也可利用导数直接得出此结论）。                                                 （6分）

       ∴直线l₁方程可化为y=2ax₁x-ax₁²                                            ①

       同理，以Q为切点的切线l₂方程可化为y=2ax₂x-ax₂²                ②，

       由①②可解出交点N坐标，=-1

       ∴点N的轨迹方程为直线y=-1

   （3）由（1）知点M的坐标为由（2）知道点N坐标为，

       ∴MN中点坐标为，满足曲线C的方程，

       ∴MN中点必在曲线C上。                                                                            （12分）

22．本小题主要考查二次函数图象及性质，二次函数、二次方程、二次不等式的关系。

       解：（1）∵f（1）f（3）=（a+b+c）（9a+3b+c）=―（5a+b）（3a+b）＞0，

       若a=0则f（1）f（3）=-b²＜0，与已知矛盾，∴a≠0                                      （2分）

       将不等式―（5a+b）（3a+b）两边同除以-a²得

       ∴                                                                                              （5分）

   （2）∵f（0）f（4）=c（16a+4b+c）=―（6a+2b）（10a+2b）=-4（3a+b）（5a+b），

       ∴f（0）f（4）=4 f（1）f（3）＞0，说明f（0）与f（4）同号，                     （6分）

       又f（2）=4a+2b+c=-2a，

       f（0）+ f（4）=c+16a+4b+c=16a+4b+2c=4a=-2 f（2），

       说明f（0）与f（2）异号，f（4）与f（2）异号，                                           （8分）

       ∴必有一根在（0，2）内，另一根在（2，4）内，                                          （9分）

       ∴方程f（x）在区间（0，4）内必有两个实根x₁，x₂

       ∴

       ∵

       ∴                                                                                    （12分）