四川省遂宁市2009届高三第三次诊断性考试（数学理）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷1至3页。第Ⅱ卷4至10页。总分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、学校、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件、相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次实验中发生的概率为
，那么
次独立重复实验中恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、选择题
1．若
为实数，
，则等于
A．
B．
C．
D．
2．函数
的图象的两条相邻对称轴间的距离为
A．
B．
C．
D．
3．在
的展开式中的
系数等于
A．
B．
C．
D．
4．平面
平面
的一个充要条件是
A．存在一条直线
B．存在一个平面
C．存在一个平面
D．存在一条直线
5．直线
截圆
所得的弦长为
A．
B．
C．2
D．1
6．等差数列
的前
项和为
，若
，则
等于
A．
B．
C．0
D．1
7．若是实数
满足
，则下列不等关系正确的是
A．
B．
C．
D．
8．如果以原点为圆心的圆必过双曲线
的焦点，而且被双曲线
的右准线分成2：1的两段圆弧。那么该双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
9．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离 为
米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为
A．
（米/秒） B．
（米/秒）
C．
（米/秒） D．
（米/秒）
10．四面体
的外接球球心在
上，且
，
，在外接球面上
，
两点间的球面距离是
A．
B．
C．
D．
11．已知正方体
中，
为
中点，棱长为2，
是平面上的动点，且满足条件
，则动点在平面上形成的轨迹是
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
12．若自然数使得作竖式加法
均不产生进位现象，则称为“可连数”。例如：32是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“不连数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于1000的“可连数”的个数为
A．27
B．
遂宁市高中2009届第三次诊断性考试
数 学（理工农医类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中；
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚；
3．本卷共10小题，共90分。
题号
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
分数
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．已知
，则不等式
的解集为______________。
14．已知
，则
的最小值是_____________。
15．省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩（试卷满分150分）服从正态分布
，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的
，则此次考试成绩不低于120分的学生约有__________________人。
16．下列四个命题中：
①将函数
的图象按向量
平移得到的图象对应的函数表达式为
；
②已知平面向量
，若
，则实数
；
③
、
、
是作用在同一质点上三个共面力，两两所成角相等，、、的大小分别是1N、2N、3N，那么质点P受到的合力大小是6N或N；
④
是锐角
的外心，则
其中是真命题的序号是________________________________________。
三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知向量
（I）当
时，求
的值；
（Ⅱ）求
在
上的值域。
18．（本小题满分12分）
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是
，甲、丙两人都回答错的概率是
，乙、丙两人都回答对的概率是
（I）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率；
（Ⅱ）求答对该题的人数
的分布列的和
。
19．（本小题满分12分）
如图所示，已知直四棱柱中，
，
，且满足
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求
的单调区间；
（Ⅱ）若关于的方程
的区间
上有两个相异实根，求实数的取值范围（
是自然对数的底数）。
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
的右准线
，右焦点
到短轴一个端点的距离为2，过动点A（4，m）引椭圆的两条切线
、
，切点分别为P、Q
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线
过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）要使
最小，求
的值
22．（本小题满分14分）
已知数列满足
（I）求
，
的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记
，若对于任意正整数都有
成立，
求实数
的取值范围。
遂宁市高中2009届第三次诊断性考试
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
C
D
A
C
A
B
A
C
A
D
二、填空题（每小题4分，满分16分）
13．
14．
15．100
16．③④
三、解答题（第17、18、19、20、21题各12分，第22题14分，共74分）
17．（I）
（Ⅱ）
函数
的值域为
18．解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件
、、
，则
，且有
即
（Ⅱ）
的可能取值：0，1，2，3
0
1
2
3
19．（I）设
是
的中点，连结
，
则四边形
为方形，
，故
，
即
又
平面
（Ⅱ）由（I）知
平面，
又
平面，
，
取
的中点
，连结
又
，
则
，取
的中点
，连结
则
为二面角
的平面角
连结
，在
中，
，
取
的中点
，连结
，
，在
中，
二面角的余弦值为
法二：
（I）以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
又因为
所以，平面
（Ⅱ）设
为平面
的一个法向量。
由
得
取
，则
又
，
设
为平面
的一个法向量，由
，
，
得
取
取
设
与的夹角为
，二面角为
，显然为锐角，
，即为所求
20．解：（I）定义域为
时，
时，
故
的单调递增区间是
，单调递减区间是
（Ⅱ）
即：
令
所以
在
单调递减，在
上单调递增
在
上有两个相异实根
21．解：（I）由题意知：
椭圆的方程为
（Ⅱ）设
切线
的方程为：
又由于
点在
上，则
同理：
则直线
的方程：
则直线过定点（1，0）
（Ⅲ）
就是A到直线PQ的距离d的
取得等号
的最小值是
22．解：（I）
（Ⅱ）原式两边取倒树，则
上式两边取对数，则
解得
（Ⅲ）
由题中不等式解得，
对于任意正整数均成立
注意到
，构造函数
则
设函数
由
对
成立，得
为
上的减函数，
所以
即对成立，因此为上的减函数，
即
，故
