2009云南省曲靖一中高考冲刺卷文科数学
（二）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若
，且
，则
是
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．设集合
，则
A．{
，0} B．{0，1，2}
C．{，0，1} D．{
，
，0，1，2}
3．原点
到直线
的距离等于
A．1 B．
4．函数
的图象
A．关于
轴对称 B．关于
轴对称
C．关于直线
对称 D．关于坐标原点对称
5．若
，则
A．
B．
C．
D．
6．已知实数、同时满足三个条件：①
；② 
；③ 
，则
的
最小值等于
A．3 B．4 C．5
D．6
7．曲线
在点（0，1）处的切线与直线
垂直，则
A．
B．
C．
D．
8．正四棱锥的底面边长等于
，侧面与底面成60°的二面角，此四棱锥体积为
A．9 B．12 C．15 D．18
9．
展开式中的系数是
A．6 B．15 C．
D．
10．函
的值域是
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，
] D．[1，]
11． 曲线
的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．（0，1）
12．正四面体的内切球与外接球的半径的比等于
A．1：3 B．1：2
C．2：3 D．3：5
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量
与
共线，则
．
14．从5名男运动员、4名女运动员中选四人参加4×100米接力赛跑，则选到的四名运动员
既有男运动员又有女运动员的不同选法共有
种（用数字作答）．
15．曲线
的过焦点且倾角是135°的弦的长度等于
．
16．请写出一个三棱锥是正三棱锥的两个充要条件：
充要条件①
；
充要条件②
；
三、解答题：本大题共6小题．共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在等差数列
中，
，
、
、
成等比数列，求数列的前
项和．
18．（本小题满分10分）
在
中，
，且的面积
，求
的长．
19．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙丙各射击一发子弹，根据以往统计资料知，甲击中9环、10环的概率为0．3、0．2，乙中击中9环、10环的概率0．4、0．3，丙击中9环、10环的概率是0．6、0．4，设甲、乙、丙射击相互独立，求：
（1）丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率；
（2）求在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率．
20．（本小题满分12分）
在正三棱柱
中，
是
的中点，
在线段
上且
．
（1）证明
面
；
（2）求二面角
的大小．
21．（本小题满分12分）
函数
．
（1）若
在
处取得极植，求
的值；
（2）
在区间
上是增函数，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
点
是椭圆短轴的一个端点，
是椭圆的一个焦点，直线
与线段
相交于点
（与
、
不重合），直线与椭圆相交于
、
两点．
（1）若是的一个三等分点，求
的值；
（2）求四边形
面积的最大值．
一、
1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．C
11．D 12．A
【解析】
5．解：
，则
．
6．解：线性规划问题可先作出可行域（略），设
，则
，可知在点（1，1）处
取最小值，
．
7．解：
，由条件知曲线在点（0，1）处的切线斜率为
，则
．
8．解：如图
正四棱锥
中，取
中点
，连接
、
，易知
就是侧面与底面所成角，
面
，则
．
9．解：
，展开式中含
的项是
，其系数是
．
10．解：
，其值域是
．
11．解：
，设离心率为
，则
，由
知
．
12．解：如图
正四面体
中，
是
中心，连
，此四面体内切球与外接球具有共同球心
，必在上，并且
等于内切球半径，
等于外接球半径．记
面积为
，则
，从而
．
二、填空题
13．
．
解：
，
与
共线
．
14．120种．
解：按要求分类相加，共有
种，或使用间接法：
种．
15．
．
解：曲线
①，化作标准形式为
，表示椭圆，由于对称性，取焦点
，过
且倾角是135°的弦所在直线方程为：
，即
②，联立式①与式②消去
得：
，由弦长公式得：
．
16．充要条件①：底面是正三角形，顶点在底面的射影恰是底面的中心．
充要条件②：底面是正三角形，且三条侧棱长相等，
再如：底面是正三角形，且三个侧面与底面所成角相等；底面是正三角形，且三条侧棱与底面所成角相等；三条侧棱长相等，且三个侧面与底面所成角相等；三个侧面与底面所成角相等，三个侧面两两所成二面角相等．
三、解答题
17．解：设等差数列
的公差为
、
、
成等比数列，即
，
，得
或
．
时是常数列，
，前
项和
时，
的前项和
或
．
18．解：
，则
，
，
．
由正弦定理得：
，
，则
．
19．解：已知甲击中9环、10环的概率分别是0．3、0．2，则甲击中8环及其以下环数的概率是0．5；乙击中9环、10环的概率分别为0．4、0．3，则乙击中8环及其以下环数的概率是0．3；丙击中9环、10环的概率是0．6、0．4，0．6+0．4=1，则丙击中8环及其以下环数是不可能事件．
（1）记在一轮比赛中“丙击中的环数不超过甲击中的环数”为事件
，包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，则
．
（2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件
，“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件
，则与相互独立，且
，
．
所以在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为：
．
20．（1）证：已知
是正三棱柱，取
中点，
中点，连
，
，则、
、两两垂直，以、、为、、轴建立空间直角坐标系，又已知
，
则
．
，
，则
，又因
与
相交，故
面
．
（2）解：由（1）知，
是面的一个法向量．
，设
是面
的一个法向量，则
①，
②，取
，联立式①与式②解得
，则
．
二面角
是锐二面角，记其大小为
．则
，
二面角
的大小
，亦可用传统方法解决（略）．
21．解：
．
（1）
在
处取得极值，则
．
（2）
，
恒成立，
必有解．
易知函数
图象（抛物线）对称轴方程是
．
在
上是增函数，则
时恒有
，进而必有（数形结合）
或
或
，
故
的取值范围是：
．
22．解：（1）已知
，求得线段
的两个三等分点
、
，直线
过时，
，直线过时，
，故
或
．
（2）已知是椭圆短轴端点和焦点，易求得椭圆方程是：
，所在直线的方程为
．
直线与椭圆相交于、，设
，
，由直线与线段相交（交点不与、重合）知
．
点在椭圆上，则
，解得
到直线的距离
，
点
到直线的距离；
设
，则
，由知
，则：
，
当
即
时，
取到最大值
．
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，0与
中，0距
更远，当
且
时，
，
．
∴四边形
的面积
，当时，
．