2009年云南省曲靖一中高考冲刺卷理科数学
（六）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．复数
A．
B．
C．
D．
2．设集合
，且
，且
，则
中的
元素个数是
A．9 B．
3．若
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
4．设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为
A．5 B．
5．据统计，甲、乙两人投篮的命中率分别为0．5、0．4，若甲、乙两人各投一次，则有人
投中的概率是
A．0．2 B．0．3 C．0．7 D．0．8
6．
展开式中含
的系数是
A．6 B．12 C．24 D．48
7．设
，则
在
上的最大值与最小值分别
是
A．
与
B．1与
C．与 D．1与
8．某地区的经济在某段时间内经历了高涨、保持、下滑、危机、萧条、复苏几个阶段，则
该地区的经济量
随时间
的变化图象大致可能是
9．已知双曲线
的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
10．已知
是正四面体，
为
之中点，则
与
所成的角为
A．
B．
C．
D．
11．直线
与直线
互相垂直，、
且
，则
的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
12．正四面体
的外接球的体积为
，则点
到平面
的距离为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分．把答案填在题中横线上．
13．若
则在上的投影是
．
14．设
，若
在
处连续，则
．
15．
、
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆上一动点，若
为钝角，则点
的横坐标的范围是
．
16．设有四个条件：
① 平面
与平面
，
所成的锐二面角相等；
② 直线
平面
平面；
③ 
是异面直线，
，且
；
④ 平面内距离为
的两条平行直线在平面内的射影仍为两条距离为的平行直线．
其中能推出
的条件有
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量
，且、
、
分别为
的三边，，所对的角．
（1）求角的大小；
（2）若
，求的面积．
18．（本小题满分12分）
甲、乙等四名医务志愿者被随机地分到、、三个不同的地震灾区服务，每个灾区至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙两人同时参加灾区服务的概率；
（2）求甲、乙两人在同一个灾区服务的概率；
（3）设随机变量
为这四名志愿者中参加灾区服务的人数，求的分布列．
19．（本小题满分12分）
如图，直二面角
中，四边形是边长为2的正方形，
为CE上的点，且
平面
．
（1）求证
平面
；
（2）求二面角
的大小．
20．（本小题满分12分）
已知数列
、
满足
，且
，
（1）令
，求数列
的通项公式；
（2）求数列的通项公式及前
项和公式
．
21．（本小题满分12分）
已知曲线上任意一点到椭圆
（
为正常数）右焦点
的距离等于到定直线
的距离．
（1）求曲线的方程；
（2）若是曲线上过点的直线，且
，试证
．
22．（本小题满分12分）
设函数
曲线
在点
处的切线方程为
．
（1）求的解析式；
（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线任一点的切线与直线
和直线
所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B 
1l．B 12．A
1．解析：
，故选A．
2．解析：
，∴选C．
3．解析：
是增函数 
故
，即
又
，故选B．
4．解析：如图作出可行域，作直线
，平移直线
至
位置，使其经过点
．此时目标函数取得最大值（注意
与
反号）
由
得
，故选A
5．解析：设有人投中为事件，则
，
故选C．
6．解析：
展开式中能项；
由
，得
，故选C．
7．解析：
由
得
，故选D．
8．略
9．解析：由
得准线方程
，双曲线准线方程为
，解得
，
，故选D．
10．解析：设正四面体的棱长为2，取
中点为
，连接
，则
为
与
所成的角，在
中
，故选B．
11．解析：由题意
，则
，故选B．
12．解析：由已知
，
为球的直径
，又
，
设
，则
，
又由
，解得
，故选A．
另法：将四面体
置于正方休中．
正方体的对角线长为球的直径，由此得
，然后可得
．
二、
13．解析：
在
上的投影是
．
14．解析：
，且
．
15．解析：
，
由余弦定理
为钝角
，即
，
解得
．
16．
解析：容易知命题①是错的，命题②、③都是对的，对于命题④我们考查如图所示的正方体，设棱长为
，显然
与
为平面
内两条距离为的平行直线，它们在底面内的射影
、
仍为两条距离为的平行直线，但两平面与却是相交的．
三、
17．解：（1）
，
，
即
，故
．
（2）
由
得
．
设边上的高为
，则
．
18．（1）设甲、乙两人同时参加灾区服务为事件，则
．
（2）记甲、乙两人同时参加同一灾区服务为事件
，那么
．
（3）随机变量
可能取得值为1，2，事件“
”是指有两人同时参加灾区服务，则
，所以
．
分布列是
1
2
19．解：（1）
平面
∵二面角
为直二面角，且
，
平面
平面
．
（2）（法一）连接
与高交于
，连接
是边长为2的正方形， 
，
二平面
，由三垂线定理逆定理得
是二面角
的平面角
由（1）
平面
，
．
在
中，
∴在
中，
故二面角等于
．
（2）（法二）利用向量法，如图以之中点
为坐标原点建立空间坐标系
，则
，
设平面的法向量分别为
，则由
得
，而平面
的一个法向理
故所求二面角等于
．
20．解：（1）由题设
，即
易知
是首项为
、公差为2的等差数列，
∴通项公式为
，
（2）由题设，
，得
是以
公比为
的等比数列．
由
得
．
21．解：（1）由题意
，由抛物线定义可求得曲线
的方程为
．
（2）证明：设、的坐标分别为
若直线有斜率时，其坐标满足下列方程组：
， 
若没有斜率时，方程为
．
又
．
；又
，
．
22．（1）解：
，于是
，
解得
或
因
，故
．
（2）证明：已知函数
都是奇函数．
所以函数
也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形，而
．
可知．函数
的图象按向量
平移，即得到函数
的图象，故函数的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，
（3）证明；在曲线上作取一点
，
由
知，过此点的切线方程为
．
令
，得
，切线与直线交点为
．
令
，得
切线与直线交点为
，直线与直线与直线的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为
所以，围成三角形的面积为定值2．
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