杭十四中二??八学年第二学期期中考试
高二年级数学（理科）试卷
一、选择题 (本大题共10小题, 每小题3分, 共30分． 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 )
1．下列各组向量中不平行的是
A．
B．
C．
D．
2．已知点
，则点A关于x轴对称的点的坐标为
A．
B．
C．
D．
3．若向量
，且
与
的夹角余弦为
，则
等于
A．
B．
C．
或
D．
或
4．若A
，B
，当
取最小值时，
的值等于
A．
B．
C．
D．
5．设随机变量
服从标准正态分布
，在某项测量中，已知在
内取值的概率为0.025，则
=
A．0.025 B．
6．若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则切线l的方程为
A．
B．
C．
D．
7．已知实数
成等比数列，且曲线
的极大值点坐标为
，则
等于
A．2 B．
D．
8．设
、
是
上的可导函数，
、
分别为、的导函数，且
，则当
时，有
A．
B．
C．
D．
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为
，得2分的概率为
，不得分的概率为
（、、
），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，且
，
的导函数，函数
的图象如图所示．
则平面区域
所围成的面积是
A．2 B．
二、填空题（本大题有7小题, 每小题4分,共28分． 请将答案填写在答题卷中的横线上．）
11．若向量
，则
__________________．
12．计算
．
13．已知向量
，若
，则
______．
14．已知
，则
的值分别是
， ．
15．已知曲线
在
点处的切线与曲线
在点处的切线互相平行，则
的值为
．
16．如右图所示，函数
的图象在点P处的切线方程是
，则
，
．
17．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且
，
，
用，，
表示
，则
__________．
三、解答题（本大题有4小题，前三小题10分，最后一小题12分，共42分）
18．已知函数
，当
时，
的极大值为7；当
时，有极小值．求：
（1）
的值；
（2）函数的极小值．
19．一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，继续再取一个零件，直到取得正品为止．设取得正品之前已取出的次品数为
，求的分布列及的期望．
20．一个四棱锥
的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图是全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图。
（1）求二面角C―PB―A大小；
（2）
为棱PB上的点，当PM长为何值时，
 |
|||
 |
|||
21．已知函数
（1）若函数
的图象上有与轴平行的切线，求参数
的取值范围；
（2）若函数在
处取得极值，且
时，
恒成立，求参数
的取值范围．
四、附加题（每小题10分，共20分）
22．已知函数
，其中
．
（1）若在
时存在极值，求的取值范围；
（2）若在
上是增函数，求的取值范围．
23．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝
，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD^BC；
（2）求二面角B－AC－D的大小
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。
命题：许国华 校对：许国华
一．选择题
D A C C C A A C D B
二．填空题
11．32 12. 6 13. 
14. 10 ，0.8 15. 
或
16.3，－1
17. 
三．解答题
18．解：（1）
而
是极值点，所以
解之得：
又
，故得
（2）由（1）可知
而
是它的极小值点，所以函数
的极小值为－25.
19．解：，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
P（ξ=0）=
，P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
Eξ=
20．解（1）如图，以D为坐标原点，分别以
所在直线为
点为E，则
是平面PBC的法向量；设AP中点为F，同理
可知
是平面PAB的法向量。知是平面
的法向量。
，
设二面角
，显然
所以
二面角
大小为
；…
（2）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），
共线，
可设
的长为
时，
21．解：（1）
依题意，知方程
有实根，所以
得
（2）由函数在
处取得极值，知是方程的一个根，所以
， 方程的另一个根为
因此，当
，当
所以，
和
上为增函数，在
上为减函数，
有极大值
，
又
恒成立，
四．附加题
22．解：由
（1）①当
不存在极值
②当
恒成立
不存在极值a的范围为
存在极值a的范围为
（2）由
恒成立
①当
恒成立 ∴a=0，
②当
③当
1．若
2．若
为单减函数
综上：①②③得：
上为增函数， 
23．解法一：（1）方法一：作
面
于
，连
．
．
．
又
，则
是正方形．
则
．
方法二：取
的中点
，连
，
则有
．
面
，
．
（2）作
于
，作
交
于
，
则
就是二面角
的平面角．
，
是
的中点，且
．
则
．
由余弦定理得
，
．
（3）设
为所求的点，作
于
，连
．
则
，
面
就是
与面所成的角，则
．
设
，易得
，则
，
．
，解得
，则
．
故线段上存在点，且
时，与面成
角．
解法二：
（1）作面于，连
，则四边形是正方形，且
，
以
为原点，以
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系如图，
则
．
，
，则
．
（2）设平面
的法向量为
，
则由
知：
；
同理由
知：
．
可取
．
同理，可求得平面
的一个法向量为
．
由图可以看出，二面角的大小应等于
则
，即所求二面角的大小是
．
（3）设
是线段上一点，则
，
平面的一个法向量为
，
，
要使与面成角，由图可知
与
的夹角为
，
所以
．
则
，解得，，则．
故线段上存在点，且时，与面成角．