重庆八中高2009级高三下第一次月考
数学试题（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合
，则
（ ）
2．若点
是平面
外一点，则下列命题中正确的是（ ）
A.过点只能作一条直线与平面相交 B.过点可作无数条直线与平面垂直
C.过点只能作一条直线与平面平行 D.过点可作无数条直线与平面平行
3．经过圆
的圆心
，且与直线
垂直的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.如图，在长方体ABCD-A1B
A.
B.
C.
D.
5.右图为函数
的图象，其中
为常数，则下列结论正确的是
（ ）
 |
A． 
B．
C． 
D．
6．若函数
的值恒等于
，则点
关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．
；
B．
；
C．
； D．
7．正数
、
的一个等差中项为
，一个等比中项为
，则
的焦点坐标为（
）
A. 
B.
C.
D.
8．已知函数
，
，则
是
的（
）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．若
、
满足不等式组
，且
的最小值为
，则
（ ）
A．
B． 
C．
D．
10．已知数列
、
都是公差为1的等差数列，其首项分别为
、
，且
，
．设
（
），则数列
的前10项和等于（ ）
A．55 B．
11.平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知点
，若点
满足
，且
，则
的最大值为（ ）
12．双曲线
的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．
13．
最小正周期为
，其中
，则
_______________
14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱底面边长为，体积为
，则这个球的表面积是________________
15．若
且满足条件
，则二次函数
（为非常数）的值域为_________________
16．已知三棱锥
的三条侧棱
、
、
的长分别为、、
，且两两垂直，并满足
,当三棱锥体积最大时，侧面
与底面
成
，则三棱锥体积最大时
__________________
三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的菱形， 
, 
,
为
的中点，
为
的中点,
（1）证明：直线
；
（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值；
（3）求点B到平面OCD的距离。
18.在
中，
分别是角
的对边，且
（1）求角
的大小
（2）若
，
，求的面积
19．三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为
，
，
平面，
，
，
为中点．
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
20.已知函数
，且
的图像按向量
平移后得到的图像关于原点对称.
（1）求的解析式；
（2）设
.求证：
.
21．已知A1、A2、B是椭圆
的顶点（如图），直线
与椭圆交于异于椭圆顶点的P、Q两点，且//A2B。若此椭圆的离心率为
（I）求此椭圆的方程；
（II）设直线A1P和直线BQ的倾斜角分别为
是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由。
22．由函数
确定数列
，
，若函数的反函数
确定数列
，且
，则称数列是数列的“反数列”
⑴若函数
确定数列的反数列为，求的通项公式；
⑵对⑴式中，不等式
对任意的正整数
恒成立，求实数的取值范围；
⑶设
，若数列
的反数列为
，设与的公共项组成的数列为
，求数列的前项和
.
一选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
D
D
B
D
B
A
C
D
C
提示：10．解：数列
、
都是公差为1的等差数列，其首项分别为
、
，且
，
．设（
），则
，所以
是等差数列，所以的前
项和
11．由题
，消去
可得：
，又由题有：
，由以上条件可得：点
的轨迹为如图所示的线段
，而
表示点到坐标原点的距离的平方，所以
12．设点
到左准线的距离为
，则由双曲线的第二定义有：
，由题有
，所以
，又由第一定义
（在右支上），所以
，
，又由点在右支上，则
，
，解得：
，而
，所以
二．填空题
13． 14． 
15．
16． 1
提示：15．
，
， 
在
单调递减，
16．如图，设三棱锥得体积为
,
，当且仅当
时三棱锥体积最大，过点
作
,连接
，由题可知
平面
,由三垂线定理可知
为侧面
与底面
成的角，所以
，而用等面积法可知：
，
，所以
，代入
，得
三．解答题
17．解：（1）取OB中点E，连接ME，NE
…………………………………………2分
又
…………………………………4分
…………………………………………………………5分
（2）连接
为异面直线与
所成的角（或其补角）…7分
由于
，所以
,
,
为等腰三角形，
……………………………………………………9分
（3）解法一：连接
，设点B到平面OCD的距离为
，
由
,
,
,
为等腰三角形，
的高为
，
………11分
又
，又
点B到平面OCD的距离为
…………………………………………13分
解法二：
点A和点B到平面OCD的距离相等，取
的中点P连
接OP,过点作
于点Q，
，又
又 
,
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离, ………………………………12分
由题可知：,
,在
中
.……13分
18．解：
在
中，
………………………………3分
……5分
……………7分
(2)由余弦定理得
，又由已知和（1）可知：
…………………………10分
………………………………13分
19．解：（Ⅰ）
平面
平面，
…………2分
在
中，
，
为
中点
．……………4分
平面
，平面
平面
．……………6分
（Ⅱ）如图，作
交
于
点，连接
，
由已知得
平面
．
是在面内的射影．
由三垂线定理知
，
为二面角
的平面角．……………9分
过
作
交
于
点，则
，
，
．在
中，
．…………11分
在
中，
．
，
即二面角为
．………………………………13分
20．解答：（1）
，
，又因为
按向量
平移后得函数
……..2分
由g(x)图像关于原点对称得g(-x)=-g(x),即
,
,
…………………………………………………...4分
由
当
（舍）所以
…….6分
（2）证明：因为
所以
……………………………………8分
故
……………………………………9分
又
……………………12分
所以
.……………………………………13分
21．解：（I）由已知可得
……2分 所以
…3分 椭圆方程为
……5分
（II）
，且定值为
由（I），A2（2，0），B（0，1），且
//A2B
所以直线的斜率
………………………………6分
设直线的方程为
解得：
即
………………………………………………8分
……………………9分
又因为
又
是定值。…………12分
22．（1）
（
为正整数），
所以数列
的反数列为
的通项
（为正整数）. …………3分
（2）对于（1）中，不等式化为
.
设
，
，
∴数列
单调递增, 所以, 
，要使不等式恒成立，只要
.
∵
，∴
，又
,
所以，使不等式对于任意正整数恒成立的
的取值范围是
.…………7分（3）设公共项
为正整数.
①当
为奇数时，
. 
，
则
（表示
是的子数列），
.所以
的前项和
.
② 当为偶数时，
.
，则
，同样有，
.所以的前项和
.
…………12分