北京 2009年高考模拟试卷数学试题题号一二三得分注意事项:1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名.考号.考试——青夏教育精英家教网——

北京 2009年高考模拟试卷

数学（文科）试题

题号

一

二

三

得分

注意事项：

1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。

3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．设全集为R,集合，，则有（）

A．

B．

C．　

D．

2．若是正数的充要条件是（）

A． B． C． D．

3．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（）

A．40 B．42 C．43 D．45

4．若,则直线=1必不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．把点（3，4）按向量平移后的坐标为，则的图象按向量平移后的图象的函数表达式为（）

A． B． C． D．

6．如右图，正方体中，E、F分别为棱和中点，G为棱上任意一点，则直线 AE与直线FG所成的角为（）

A． B．

C． D．

7．已知函数的定义域为，函数的图象

如图所示，则函数的图象是（）

8．二项式的展开式中含的项，则n的一个可能值是（）

A．8 B．9 C．5 D．6

9．若A, B是平面内的两个定点, 点P为该平面内动点, 且满足向量与夹角为锐角, , 则点P的轨迹是（）

A．直线（除去与直线AB的交点） B．圆（除去与直线AB的交点）

C．椭圆（除去与直线AB的交点） D．抛物线（除去与直线AB的交点）

10．设A、B是椭圆=1上的两个动点，焦点坐标是F，则△ABF的周长的最大值为

（）

A．4 B．8 C．12 D．2

11．数列｛a_n｝中，a₁=2, , , 又, 则a₂₀₀₉= （）

A．2 B． C． D．1

12．f(x)与g(x)是定义在R上的可导函数.若f ′(x)=g ′(x)，则f(x)与g(x)满足（）

A．f(x)=g(x) B．f(x)-g(x)是常数函数

C．f(x)=g(x)=0 D．f(x)+g(x)是常数函数

第Ⅱ卷

20080801

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。

13．已知（x）ⁿ的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于，系数最大的项是第项。

20090505

15．三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .

16．等腰直角三角形ABC中，AB=1，锐角顶点C在平面α内，β∥α，α、β的距离为1，随意旋转三角形ABC，则三角形ABC在β另一侧的最大面积为　　　　　　　　。

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共70分）。

17．（本大题10分）已知都是定义在上的函数，若存在正实数使得总成立，则称为在上的生成函数.

若，.

（1）判断函数是否为在上的生成函数，请说明理由；

（2）记为在上的生成的一个函数，若，且的最大值为4，求.

18．（本大题12分）如图，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点.

（Ⅰ）求与平面A₁C₁CA所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角B―A₁D―A的大小；

（Ⅲ）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A₁BD.

19．（本大题12分）、某校有5名学生报名参加义务献血活动, 这5人中血型为A型的2名, 血型为B型的学生1 名,血型为O型的学生2名,已知这5名学生中每人符合献血条件的概率均为

（1）若从这5名学生中选出2名,求所选2人血型为O型或A型的概率

（2）求这5名学生中至少有2名学生符合献血条件的概率.

20．（本大题12分，）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1, 0）、B（1, 0）, 动点C满足条件：△ABC的周长为. 记动点C的轨迹为曲线W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，

求k的取值范围；

（Ⅲ）已知点M（），N（0, 1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

21．（本大题12分）数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n+4n（n=`1，2，3，……）

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）设的前n项和为T_n，求证：T_n<2.

22．（本大题12分）设定义在R上的函数f（x）＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²＋a₃x（其中a_i∈R，i＝0，1，2，3），当时，f（x）取得极大值，并且函数y＝f′（x）的图象关于y轴对称。

（1）求f（x）的表达式；

（2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；

（3）求证：|f（sinx）－f（cosx）|≤）（x∈R）．

.

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一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

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2．提示: 故选D

3．提示:已知得d=3，a₅=14，=3a₅=42.故选B

4．提示: 判断cosα>0,sinα<0，数形结合.故选B

5．提示: 设，则，则的图象按向量平移后的图象的函数表达式为：，即，故选D。

20090505

7．提示: 当x>0时,的图像相同,故可排除（A）、（C）、（D）.故选B

8．令=5，得3n=5r＋10 , 当r=1时，n=5.故选C

9．提示由,得,所以, 点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）.故选B

10．如图, 由椭圆及第一定义可得,△ABF的周长为AB+

AF+BF=AB+2a-AF₁+BF=4+（AB-AF₁）+BF≤4+BF₁+

BF=4+4=8.当且仅当三点A、F₁、B共线时,不等式取

等号,故选B.

11．提示: 易知数列｛a_n｝是以3为周期的数列，a₁=2, a₂= , a₃= , a₄=2,

故a₂₀₀₉=2故选B

12．提示: ∵f ′（x）=g′（x）, ∴f（x）,g（x）可以是同一函数,或者仅是常数项不同的两个函数, 而得

f（x）-g（x）是常数函数, 即B为最佳答案,故选B.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．9；提示: T_r+1=（x）^n-r（-）^r,由题意知：-+=27n=9

∴展开式共有10项，二项式系数最大的项为第五项或第六项，故项的系数最大的项为第五项。

14． ;矩形；若则以为邻边的平行四边形对角线相等,所以此四边形必为矩形,可见的夹角为

15．；提示: P=1-=

16．提示：当直角三角形的斜边垂直与平面时,所求面积最大。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17．（本大题10分）（1）不是，假设是在上的生成函数，则存在正实数使得恒成立，令，得，与矛盾，

所以函数一定不是在上的生成函数…………5分

（2）设，因为

所以，当且仅当且时等号成立，

即时

而，

，

………………………10分

18．（Ⅰ）连接A₁C.

∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱柱，

∴CC₁⊥底面ABC，

∴CC₁⊥BC.

∵AC⊥CB，

∴BC⊥平面A₁C₁CA. ……………1分

∴为与平面A₁C₁CA所成角，

.

∴与平面A₁C₁CA所成角为.…………4分

（Ⅱ）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM，

∵BC⊥平面ACC₁A₁，

∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影，

∴BM⊥A₁G，

∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角，

平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

，.

即二面角B―A₁D―A的大小为.……………………8分

（Ⅲ）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A₁BD.

证明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱，

∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，

∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，

当F为AC的中点时，

C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D.

同理可证EF⊥BD，

∴EF⊥平面A₁BD.……………………12分

19．解:（1）从这5名学生中选出2名学生的方法共有种所选2人的血型为O型或A型的的情况共有种故所求概率为 ?…………6分

（2）至少有2名学生符合献血条件的对立事件是至多1人符合献血条件

则所求概率为 …………12分

20．解：（Ⅰ）设C（x, y）,

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ .

∴ .

∴ W: .………………… 2分

（Ⅱ）设直线l的方程为，

代入椭圆方程，得.

整理，得. ①………………………… 5分

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，

解得或.

∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 7分

（Ⅲ）设P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）,

则＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,

由①得. ②

又 ③

因为，，

所以.……………………… 11分

所以与共线等价于.

将②③代入上式，

解得.

所以不存在常数k，使得向量与共线.…………………… 12分

21．（本大题12分）

（1）n=1时，a₁=－4

∴

∴数列{a_n－4}为等比数列，公比为2，首项为a₁－4=－8 …………5分

∴

∴ …………7分

（2）

…………10分

相减得：

………………12分

22．解: 解：∵f′（x）＝4a₀x³＋3a₁x²＋2a₂x+a₃为偶函数。

∴a₀＝a₂＝0，

∴f（x）＝a₁x³＋a₃x

又当x＝－时，f（x）取得极大值…………2分

∴ 解得

∴f（x）＝x³－x，f′（x）＝2x²－1………………4分

⑵解：设所求两点的横坐标为x₁、x₂，

则（2x₁²－1）（2x₂²－1）＝－1

又∵x₁，x₂∈[－1，1]，

∴2x₁²－1∈[－1，1]，2x₂²－1∈[－1，1]

∴2x₁²－1，2x₂²－1中有一个为1，一个为－1，………………5分

∴x₁＝0，x₂＝±1，

∴所求的两点为（0，0）与（1，－）或（0，0）与（－1，）。………8分

⑶证明：易知sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]。

当0<x<时，f′（x）<0；当<x<1时，f′（x）>0。

∴f（x）在[0，]为减函数，在[，1]上为增函数，

又f（0）＝0，f（）＝－，f（1）＝－，

而f（x）在[－1，1]上为奇函数，

∴f（x）在[－1，1]上最大值为，最小值为－，

∴f（sinx）∈[－，]，f（cosx）∈[－，]，………………10分

∴|f（sinx）－f（cosx）|≤|f（sinx）|＋|f（cosx）|≤………………………………12分