立体几何基础题题库（六）（有详细答案）
251. 已知点P是正方形ABCD所在的平面外一点，PD
面AC，PD=AD=
，设点C到面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则（ ）
（A） <d1 <d2（B）d1< d2<（C）d1<< d2（D）d2<d1<
解析：
，
，故d2<d1<，选D。
252.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）当为何值时，MN的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角
的大小。
解析：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
∴
,
, 即
,
∴
（2）由（1）知: 
，
(3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，
∴∠AGB即为二面角α的平面角。又
，所以由余弦定理有
。故所求二面角
。
253. 如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为
。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN ,(1)求证:MN//面BCE ; (2)求证:MNAB;
(3)求MN的最小值.
解析：(1)如图,作MG//AB交BC于G, NH//AB交BE于H, MP//BC交AB于P, 连PN, GH , 易证MG//NH,且MG=NH, 故MGNH为平行四边形,所以MN//GH , 故MN//面BCE ;
(2)易证AB面MNP, 故MNAB ;
(3)
即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即
,设AP=x , 则BP=a－x , ＮP=a－x , 所以：
，
故当
时，ＭＮ有最小值
．
254.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y,
（1）求MN的长(用x,y表示)；（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。
解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=
在
PBN中，由余弦定理得：PN2=
，在
中，MN=
；
（2）MN
，故当
，
时，MN有最小值
。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。
255.已知正四棱柱ABCD―A1B
a，求证：DQ面EAC；（2）判断BP与面EAC是否平行，并说明理由？（3）若点M在侧面BBBP，试确定动点M所在的位置。
解析：（1）证：首先易证ACDQ，再证EODQ（O为AC与BD的交点）在矩形BDD1B1中，可证EDO与BDQ都是直角三角形，由此易证EODQ，故DQ面EAC得证；
（2）若BP与面EAC平行，则可得BP//EO，在三角形BPD中，O是BD中点，则E也应是PD中点，但PD=
DD1=a，而ED=DO=BD=
a，故E不是PD中点，因此BP与面EAC不平行；
（3）易知，BPAC，要使AMBP，则M一定在与BP垂直的平面上，取BB1中点N，易证BP面NAC，故M应在线段NC上。
256.如图，已知平行六面体
的底面ABCD是菱形，
，（1）证明：
；
（II）假定CD=2，
，记面
为α，面CBD为β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；
（III）当
的值为多少时，能使
？请给出证明.
解析：（I）证明：连结
、AC，AC和BD交于.，连结
， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD， 
可证
，
，
故
，但AC⊥BD，所以
，从而
；
（II）解：由（I）知AC⊥BD，，
是二面角α―BD―β的平面角，在
中，BC=2，
，
，
∵∠OCB=60°，
，
，故C1O=
，即
C1O=C
，垂足为H，∴点H是.C的中点，且
，所以
;
（III）当
时，能使
证明一：∵，所以
，又
，由此可得
，∴三棱锥
是正三棱锥.
257.设
相交于G.，
，且
，所以
如图，已知正方体ABCD―A1B
解析：本题的关键是画出A
解 连B1D1交A
∴ A
∴ A
∴ OM是异面直线A
在直角ΔBB1D1中作B1N⊥BD1于N.
∵ BB1?B1D1＝B1N?BD1，a?
a＝B1N?
a，∴ B1N＝
a,OM＝B1N＝
a.
故异面直线Aa.
评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线、面垂直的关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求OM的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系.
258.
已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A
证明 如图，连结MN、NR，则MN∥l1,NR∥l2，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l1∥l2与条件矛盾).∴ MN、NR可确定平面β，连结B
β.
∴ M、N、R、T四点共面. 
=2：1
又是正三角形的BD边上的高和中线,∴点G是正三角形的中心.故
，即
。
证明二：由（I）知，，
，
当时，平行六面体的六个面是全等的菱形.同
的证法可得
， 又
，所以。
259. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )
A.12对
B.24对 C.36对
D.48对
解析：本题以六棱锥为依托，考查异面直线的概念及判断，以及空间想象能力.
解法一：如图，任何两条侧棱不成异面直线，任何两条底面上的棱也不成异面直线，所以，每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱，每条侧棱，可以且只有与4条底面上的棱组成4对异面直线，又由共6条侧棱，所以异面直线共6×4＝24对.
解法二：六棱锥的棱所在12条直线中，能成异面直线对的两条直线，必定一条在底面的平面内，另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共6条，侧棱所在直线也有6条，各取一条配成一对，共6×6＝36对，因为，每条侧棱所在的直线，与底面内的6条直线有公共点的都是2条，所以，在36对中不成异面直线的共有6×2＝12对.所以，六棱锥棱所在的12条直线中，异面直线共有36-12＝24对.
260. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面
解析：本题考查两条直线的位置关系，异面直线的概念，以及空间想象能力.
解法一：设两条异面直线分别为l1，l2，则与它们分别相交的两条直线有可能相交，如图1，也可能异面，如图2，它们不可能平行，这是由于：假设这两条直线平行，则它们确定一个平面α，两条平行线与两条异面直线l1与l2的四个交点均在α内，则两异面直线l1与l2也在α内，这是不可能的.∴应选D.
解法二：利用排除法，容易发现，分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系，由于这点可以排除选择选A、B、C.故选D.
261. 已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.
解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.
证：用反证法.
假设b,c共面，则b∥c或b,c相交.
(1)若b∥c,∵ c∥a, ∴ a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾；
(2)若b∩c＝P,∵ bβ，∴ P∈β.
又∵ cα，∴ P∈α. ∴ P∈α∩β而α∩β＝a.
∴ P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾.
综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.
说明 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.
262.
如图，在棱长为a的正方体ABCD―A1B
的中点分别是E、F.
(1)证明EF是AA1与BD1的公垂线段；
(2)求异面直线AA1和BD1间的距离.
解析：(1)连接ED1、EB，
则显然ED1＝EB＝
a
又F为BD1之中点.
∴ EF⊥BD1；
连接FA1，FA.
∵ F为正方体的中心，
∴ FA＝FA1，又E为AA1之中点，
∴ EF⊥A
故EF为AA1与BD1的公垂线段.
(2)在RtΔEFD1中
EF＝
＝
.
故AA1到BD1间的距离是
.
评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.
263. 如图所示，正三棱锥S―ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.
解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝a,EA＝EB＝
a,EF＝
＝
a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°.
说明 异面直线所成角的求法：
利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.
264.
在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足
＝
＝
＝
＝k.
(1)求证：M、N、P、Q共面.
(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)
解析：(1)∵ ＝＝k
∴ MQ∥BD，且
＝
∴ 
＝
＝
∴ MQ＝BD
又 ＝＝k
∴ PN∥BD，且
＝
∴ 
＝
＝从而NP＝BD
∴ MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.
(2)∵ 
＝
，
＝
∴ ＝＝,
＝
∴ MN∥AC，又NP∥BD.
∴ MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.
∵ MNPQ是正方形，∴ ∠MNP＝90°
∴ AC与BD所成的角为90°，
又AC＝a，BD＝b，
＝
＝
∴ MN＝a
又 MQ＝b,且MQ＝MN，
b＝a，即k＝
.
说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.
265.已知：直线a和直线b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交，求证：b、c是异面直线.
证：因为b,c不相交，b、c的位置关系有b∥c或b、c异面两种可能.
假设b∥c,∵ c∥a,∴ a∥b，这与已知a,b是异面直线矛盾.
所以b与c不能平行，又b、c不相交
所以b,c是异面直线.
266.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?
证明：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面α内，这时A、B、C、D四点都在α上，由公理1知A、B、C、Dα，这与已知AB与CD异面矛盾，所以AC、BD一定是异面直线.
267.
如图，ABCD―A1B
，则BE1与DF1所成角的余弦值是( )
A.
B. C.
D.
解析：过A点在平面ABB，ABCD―A1B
A1B1，
又DF1＝AF＝E1E，DF1＝BE1.
∴ E1E＝A1B1，EB＝A1B1
在ΔBE1E中，cos∠BE1E＝
＝.
∴ 应选A.
268.
在棱长为1的正方体ABCD―A1B
A. B.
C.
D.
解析：由图所示，AM与CN是异面直线，过N作平行于AM的平行线NP，交AB于P，由定义可知∠PNC就是AM与CN所成的角.因ΔPBC，ΔPBN，ΔCBN皆为直角三角形，且BP＝
，BN＝
，BC＝1，故PN2＝()2+()2＝
，CN2＝()2+12＝
，PC2＝()2+12＝
，在ΔPCN中cos∠PNC＝
，所以cos∠PNC＝
，因此应选D.
269. 已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析： 过P点分别作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′的夹角为50°，由异面直线所成的角的定义可知，过P点与a′,b′成30°角的条数，就是所求的条数.
画图可知，过P点与a′、b′成30°角的直线只有两条.
∴ 应选B.
270. .若a、b为异面直线，P为空间一点，过P且与a、b所成角均为
的直线有( )
A.二条 B.二条或三条
C.二条或四条 D.二条、三条或四条
解析：D
271. 已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点.
求证：①对角线AC、BD是异面直线，
②EF和HG必交于一点，且交点在AC上.
解析：①提示：用反证法，或者用判定定理.
②提示：先证EH∥FG，EH＜FG，设FE∩GH＝0
又 0∈GH.GH平面ADC.∴O∈平面ADC.同理O∈平面ABC.
∴O在平面ADC和平面ABC的交线AC上.
272.如果直线a垂直于直线b，那么直线a与平行于直线b的任意一条直线b′互相垂直
解析：在a上任取一点A，过A作b1∥b，则a与b1垂直.
∵b∥b′，b∥b1 ∴b1∥b′
∴直线a与b1和a与b′所成的角相等.
∴a⊥b′
273. 在一块长方形木块的面上有一点P，木匠师傅要用锯子从P和CD将木块分成两块，问怎样画线.
解析：过P作C1D1的平行线EF，连DE、CF.
274.异面直线l1、l2，它们之间的距离为1，所成角是，它们的公垂线是AB，A∈l1,B∈l2.E∈l1,F∈l2,AE＝BF＝1，求EF的长.
解析：如图，用异面直线l1、l2作为长方体的上、下底面的对角线，公垂线AB为高.
①EF的长即是正方形PEE′F的对角线长，为.
②侧面
的对角线
，用勾股定理得＝2，即为所求.
275.试证：两两相交且不全过同一点的四条直线共面.
解析：(1)设a、b、c、d四条直线两两相交，且不过同一点，并且无三线共点.
记 a∩b＝A,a∩c＝C,c∩b＝B,
∵ a∩b＝A,∴ a、b确定平面α.
∴ B∈b,C∈a. ∴ B、C∈α.
∴ BCα，即cα，同理dα
从而 a、b、c、d共面
(2)若有三线共点，不妨设b、c、d相交于A，
a∩b＝B，a∩c＝C,a∩d＝D.
∴ a与A可确定平面α.
∵ B∈a. ∴B∈α，于是bα.
同理，cα，dα.
从而a、b、c、d共面.
276. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。
解析：易知故两条体对角线相交，设交点为O（如图），则即为所成的角。
设正方体棱长为1，则
，所以，而，故
，即，
277.长方体中，则所成角的大小为______________。
解析：如图所示，将平移到，则在中
278. 根据叙述作图，指出二面角-l-的平面角，并证明．
（1）已知∩=l，A∈l（图9-39）．在内作PA⊥l于A，在内作QA⊥l于A．
图9-39
（2）已知∩=l，A∈，
（图9-40）．作AP⊥于P，在内作AQ⊥l于Q，连结PQ．
图9-40
（3）已知∩=l，
，
（图9-41）．作AP⊥于P，AQ⊥于Q，l∩平面PAQ=H，连结PH、QH．
解析：（1）PA
，QA，PA⊥l，QA⊥l，∴ ∠PAQ为二面角的平面角．
（2）∵ AP⊥，∴ PQ为AQ在平面内的射影，∵ AQ⊥l，根据三垂线定理，有PQ⊥l，∴ ∠AQP为二面角的平面角（如图答9-35）．
（3）∵ AP⊥，∴ AP⊥l，∵ AQ⊥，∴ AQ⊥l，∴ l⊥平面PAQ，∵ PH?QH平面PAQ，∴ l⊥PH，l⊥QH，∴ ∠PHQ为二面角的平面角（如图答9-36）．
279. 如图9-42，立体图形A-BCD中，AC=AD，BC=BD．求作二面角A-CD-B的平面角，并说明理由．
解析：取CD中点E，连结AE、BE，∵ AC=AD，∴ AE⊥CD．∵ BC=BD，∴ BE⊥CD，∴ ∠AEB为二面角A-CD-B的平面角．
280. 若二面角-l-的一个半平面上有一个点A，点A到棱l的距离是它到另一个平面的距离的2倍，则这个二面角的大小为（ ）．
A．90° B．60° C．45° D．30°
解析：D．作AH⊥交于H，作HB⊥l于B，连结AB，由三垂线定理，HB⊥l，∴ ∠ABH为二面角-l-的平面角，由已知在Rt△ABH中，AB=2AH，∴ ∠ABH=30°．
281. 下列命题中正确的是（ ）．
A．平面和分别过两条互相垂直的直线，则⊥
B．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则⊥
C．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则⊥
D．若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则⊥
解析：C．内的直线l垂直内的相交直线a、b，则l⊥．∵ l，∴ ⊥．
282. 设两个平面互相垂直，则（ ）．
A．一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上
C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
解析：B．如图答9-38，在正方体
中，平面
⊥平面ABCD，其中
平面，但不垂直平面ABCD，故A不正确．点D在交线AD上，
，但
不垂直平面ABCD，故C不正确．
平面，AC平面ABCD，但与AC不垂直，故D不正确．
283. 如图9-43，∠AOB是二面角-CD-的平面角，AE是△AOB的OB边上的高，回答下列问题，并说明理由：
（1）CD与平面AOB垂直吗?
（2）平面AOB与、垂直吗?
（3）AE与平面垂直吗?
解析：（1）∵ ∠AOB是二面角-CD-的平面角，∴ OB⊥CD，OA⊥CD，∴ CD⊥平面AOB．
（2）∵ CD⊥平面AOB，CD，∴ ⊥平面AOB．同理⊥平面AOB．
（3）∵ CD⊥平面AOB，∵ AE平面AOB，∴ CO⊥AE，又∵ AE⊥OB，CD∩OB=O，∴ AE⊥平面BCD，即AE⊥．
284. 如图9-44，以等腰直角三角形的斜边BC上的高AD为折痕，使△ABD和△ACD折成相垂直的两个面．求证：BD⊥CD，∠BAC=60°．
图9-44
解析：∵ AD是等腰△ABC底边BC上的高线，∴ AD⊥BD，AD⊥DC，∴ ∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，∵ 平面ABD⊥平面ACD，∴ ∠BDC=90°，即BD⊥DC．连结BC，设AD=a，则BD=DC=AD=a，
，
，
，∴ △ABC是正三角形，∴ ∠BAC=60°
285. 直线a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求证：α⊥β.
证明 过b上任意一点作直线a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b.
设相交直线a′、b确定一个平面
,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.
在平面内，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α
286. 在三棱锥S―ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求证：平面ASC⊥平面ABC.
证明 取AC的中点O，连SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC＝AB＝a,SA＝SC＝a,又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S―AC―B的平面角.又∵SA＝AB＝a,SC＝BC＝a,AC＝AC,∴ΔACS≌ΔACB.
∴SO＝BO＝
a.在ΔSOB中，∵SB＝a,∴∠SOB＝90°.
即平面SAC⊥平面ABC.
另证：过S作SO⊥平面ABC，垂足是O.∵SA＝SB＝SC，∴S在平面内的射影是ΔABC的外心，同前面的证明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜边AC上.又∵平面SAC经过SO，∴平面SAC⊥平面ABC
说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.
287. 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A―BD―C、A―BC―D、B―AC―D的大小.
解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，
∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥