1．与方程有关的问题

例1

    A. 1个      B. 2个      C. 3个      D. 1个或2个或3个

    解析：

出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

点拨:对于一些不规则方程判断根的个数问题,用解方程的方法求出解来,再说有几个根是不可能的,而借助数形结合,将根的个数问题转化为图像的交点个数问题.

2、与不等式有关的问题

例2

解析:

.

点拨: 数形结合,将不等式问题转化为两函数图象的高低关系,进而转化为解方程,求交点的横坐标.

例3 设f(x)=x²?2ax+2,当x∈［?1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围 

解法一  由f(x)＞a，在［?1,+∞)上恒成立

x²?2ax+2?a＞0在［?1,+∞)上恒成立 

考查函数g(x)=x²?2ax+2?a的图象在［?1,+∞］时位于x轴上方 

如图两种情况 

不等式的成立条件是 

(1)Δ=4a²?4(2?a)＜0a∈(?2,1)

(2)a∈(?3,?2，

综上所述a∈(?3,1)   

解法二  由f(x)＞ax²+2＞a(2x+1)

令y₁=x²+2,y₂=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象  

如图满足条件的直线l位于l₁与l₂之间，而直线l₁、l₂对应的a值（即直线的斜率）分别为1，?3，

故直线l对应的a∈(?3,1) 

反思:不等式f(x)>g(x)恒成立,就是保证函数f(x)的图象在g(x)图象的上方,借助图象的高低来比较量的大小.

3．与函数有关的问题

例4 设A={x｜?2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x²，且x∈A }，若CB，求实数a的取值范围 

 分析: 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C  进而将CB用不等式这一数学语言加以转化 

解  ∵y=2x+3在［?2, a］上是增函数

∴?1≤y≤2a+3，即B={y｜?1≤y≤2a+3}

作出z=x²的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下 

①当?2≤a≤0时，a²≤z≤4即C={z｜a²≤z≤4}

要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与?2≤a＜0矛盾 

②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由图可知 

必须且只需,解得≤a≤2

③当a＞2时，0≤z≤a²，即C={z｜0≤z≤a²}，

要使CB必须且只需

,解得2＜a≤3

④当a＜?2时，A=此时B=C=，则CB成立 

综上所述，a的取值范围是(?∞,?2)∪［,3］ 

点拨: 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 

求一元二次函数在定区间上的值域或最值,要根据对称轴与该区间的关系,充分借助相应区间上二次函数的图象求解.

4、与几何有关的问题

    例5若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

解析：y=x－m表示倾斜角为45°，纵截距为－m的直线，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即.

点拨:明确方程的几何意义,在同一坐标系中画出相应的几何图形,根据直线系的特点,由图形研究直线与半圆的位置关系.

例6 。

    解析:

截距。

    ∴

反思:对于形如y－3x的二元一次函数求最值,如果限制条件是表示的是几何区域或曲线,常采用借助直线的截距来求.

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，不仅在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，而且在解决一些抽象问题中常起到事半功倍的效果，在运用过程中要特别注意以下问题：

【例1】方程lgx = sinx的实根的个数为 （     ）   

A. 1个          B. 2个       C. 3个         D. 4个

错解：画出y = lgx和y = sinx在同一坐标系中的图象，如图所示，

两图象有1个交点，选A.

错因分析：函数y = sinx，而lg10=1，且＜10，函数y = lgx的图象有误。

正解：画出y = lgx和y = sinx在同一坐标系中的图象，如图所示，

两函数图象有3个交点，选C.

点评：一些判断方程根的个数问题，可以转化为考察两函数图象的交点个数，但要注意“数”的精确性，准确作图，从而得出正确结论。

【例2】函数y = a|x|与y = x + a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（    ）

A．(1，+∞)                      B．(- 1，1)

C．(- ∞，- 1]∪[1，+∞)         D．(- ∞，- 1)∪(1，+∞)

错解：在同一坐标系中画出y = a|x|与y = x + a的图象，

所以a > 1，选A。

错因分析：画函数y = a|x|的图象时，忽略了讨论系数a的正负。

正解：画出y = a|x|与y = x + a的图象，两图象有两个交点的情形如下：

点评：有些数学问题所对应的图形是不唯一的，必须根据不同情况准确作图，再进行讨论求解。

二、“数”与“形”转化的等价性

【例3】若关于x的方程x ² + 2kx + 3k = 0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围。

误解：令f (x) = x ² + 2kx + 3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f (x) = 0的解。

由y = f (x)的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需

，∴k∈

错因分析：所列不等式组与满足条件的图象不等价。比如下图，满足此不等式组，但不满足方程根的分布情况。

正解：由图象列出满足条件的不等式组为 ，∴k∈(- 1，0].

点评：此类题存在着两个等价转化：一是将方程根的分布情况转化为抛物线与x轴的交点情况，进而画出函数草图；二是由草图列出与之等价的不等式组。

五、规律总结

数形结合的思想，就是把问题的数量关系和几何图形结合起来的思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（即“以形助数”）；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（即“以数助形”）。

1.数形结合思想解决的问题常有以下几种：

（1）函数与方程、函数与不等式的内在联系①构建函数模型并结合其图象求参数的范围；②构建函数模型并结合其图象研究方程根的个数；③构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系。

（2）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究代数式的取值范围问题。

（3）研究几何图形的形状、形状、图形间的位置关系。

2.“以形助数”常用的有：借助数轴；借助函数图象、借助单位；借助数式的结构特征；借助解析几何方法。

3.“以数助形”常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

六、能力突破

华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

【例1】设A=，B=，C=，若，求实数a的取值范围。

分析：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C，进而用不等式将这一集合语言加以转化。

解：∵y=2x＋3在[－2，a]上是增函数，∴B=。

作出函数z=x²的图象，其定义域右端点x=a有三种不同的位置关系：

①当时，如图1，，即｛z|｝。

要使，必须且只需，解得，与矛盾。

②当时，如图2，，即｛z|｝.

要使，必须且只需，解得。

③当时，如图3，，即｛z|｝。

要使，必须且只需，解得。

④当a＜－2时，A=，此时B=C=，成立。

综上所述，a的取值范围是。

反思：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决。

对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，借助图象的直观形象，达到解决问题的目的。

【例2】已知实数x、y满足x²＋y²=3（），求（1），（2）b=2x+y的取值范围。

分析：m可以看作过两点的斜率，而b是直线的截距。

解：（1）将m看作半圆x²＋y²=3（）上的点M（x，y）和定点A（－3，－1）的直线的斜率。

由图1可知，（k₁、k₂分别表示直线AM₁、AM₂的斜率），

且。

直线AM₂的方程是，有。

所以，。

（2）将b看作斜率为－2，过半圆x²＋y²=3（）上的点P（x，y）的直线在y轴上的截距。

由图2 可知，（n₁、n₂分别表示直线BP₁、CP₂的截距）。

直线BP₁的方程是，则n₁= 。

设直线BP₂的方程是2x＋y＋c=0，有。

所以，。

反思：根据所给代数式的特点，由解析几何中的斜率、截距、距离的概念研究最值问题，是数形结合思想的一个重要体现。

形如2x+y的代数式求最值，如果限制条件表示的是几何区域或曲线，常借助直线截距来求；而形如的代数式，根据其几何意义为斜率求解。

从上面所举的两个例子中可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合，从而寻找到解题思路，使问题得到解决。

七、高考风向标

数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，历年来一直是高考考查的重点之一，主要涉及：

集合及其运算问题――韦恩图与数轴；

用函数图象解决有关问题（如方程、不等式等）；

运用向量解决有关问题；

三角函数图象及其应用；

数学概念及数学表达式几何意义的应用；

解析几何中的数形结合。

灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

【例1】（07年高考浙江卷理10）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（   ）

A．       B．

C．                 D．

解析：C 因为是二次函数，值域不会是A、B，画出函数的图像（图1）易知，当值域是时，的值域是。

点评：本题主要考查分段函数、复合函数、二次函数的图象和性质，通过函数的图象确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性。

熟悉各类函数的图象，借助图象研究函数的性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性以及对称性），结合函数图象的几何特征与数量特征有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果。如：

（08年高考福建卷理12）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（      ）

解析：D由导函数的图象可知，在（0，＋）单调减，说明函数y=f(x)的图象上任意一点切线的斜率为单调减，排除A、C。又由图象知两导函数在x=x₀处相交，说明两函数y=f(x),y=g(x)的图象在x=x₀处的切线斜率相等，排除B。

【例2】（08年高考浙江卷理5文7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（    ）

（A）0        （B）1         （C）2          （D）4

解析：C 图象如图所示，直线与该函数图象有两个交点。

点评：本题考查了诱导公式以及三角函数的图象等知识，考查学生的数形结合的能力。

在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。

另一方面，用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法。如：

（08年高考湖北卷文13）方程的实数解的个数为          。

解析：2  如图，在同一坐标系内分别画出和的图象

由图可知，两函数图象有两个交点，即方程有两个根。

【例3】（08年高考湖南卷理3）已知变量x、y满足条件则的最大值是(     )

A.2         B.5         C.6         D.8

解析：C如图所示，可行域为图中阴影部分（包括边界线），则z=在A点处取得最大值，由得A（3，3），故最大值为3＋3=6.

点评：本题主要考查线性规划知识。

二元一次方程组与二元函数的对应实质上是简单线性规划问题，利用可行域可以求目标函数的最值，属于典型的数形结合的案例。值得注意的是，目标函数对应的直线与边界直线斜率的大小关系用于确定最优解的正确位置应仔细观察各直线的倾斜程度，准确判定可行域内的最优解。

此类题目在各地高考试题中均有考查，主要以选择、填空的形式出现。

【例4】（08年高考海南宁夏卷理11）已知点P在抛物线y² = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（    ）

A. （，－1）          B. （，1）        C. （1，2）         D. （1，－2）

解析：A  定点在抛物线内部，由抛物线的定义，动点到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点到点和抛物线的准线距离之和最小时，求点的坐标，显然点是直线和抛物线的交点，解得这个点的坐标是。

【点评】本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法。类似的题目在过去的高考中。

【易错指导】不能通过草图和简单的计算确定点和抛物线的位置关系，不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离，是解错本题或不能解答本题的原因。

在解析几何中，曲线是轨迹的几何形式，具有直观形象的优点；方程是轨迹的代数形式，便于运算，具有可操作性的优点。曲线和方程是同一轨迹的两种表示形式，在不同形式下各有所长，把二者紧密结合起来，能扬长避短，各得其所，因此充分利用平面直角坐标系，使属性紧密结合起来，以便发挥各自的优势。

在各地高考试题对解析几何的考查中，通过选择、填空、解答题的形式均有体现。

八、沙场练兵

1、（08潍坊模拟）已知0 < a < 1，则方程a ^|x| = |log _a x|的实数根的个数为    （    ）

A. 1个  B. 2个  C. 3个  D. 1个或2个或3个

2、如果实数x、y满足(x ? 2) ² + y ² = 3，则的最大值为（   ）

A．     B．      C．      D．

3、（08济宁模拟）设集合，，则等于（   ）

A．               B．     C．            D．

4、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（   ）

5、（08黄冈模拟）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A．       B．       C．       D．

6、则|z|的最大值为（     ）

A.         B.2        C.3         D.4

7、（08临沂模拟）函数的部分函数图象如图所示，则函数表达式为（     ）

A.              B.

C.               D.

8、方程的根分别是a，b，则a与b的大小关系是（    ）

A.a＞b        B. a＜b         C. a=b         D.不确定

9、对于任意的实数x，设f（x）是4x＋1，x＋2和－2x＋4三者中的最小者，则f（x）的最大值为（    ）

A.      B.3        C.          D.

10、设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（   ）

    A.2   　　　　B.3  　　　　 C.4  　　　　D.5

11、在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则       （   ）

Ａ．在区间上是增函数，在区间上是增函数

Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数

Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数

Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数

12、

MF₁的中点，O表示原点，则|ON|=（    ）

13、若f (x) = x ² + bx + c对任意实数t，都有f (2 + t) = f (2 ? t)，则f (1)、f (- 3)、f (4)由小到大依次为___________。

14、若关于x的方程x ² ? 4|x| + 5 = m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为____.

15、若直线y = x ? m与曲线y = 有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_____.

16、（08福州模拟）是         。