2009届江苏省泰州市期末联考高三数学模拟试题
一、
YCY
1、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则的概率为
2、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．
3、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：
①若，则； ②若，则；
③若上有两个点到的距离相等，则； ④若，则。
其中正确命题的序号是
4、=
5、已知点A、B、C满足，，，则的值是_____________.
6、若数列的前项和，则数列中数值最小的项是第 项．
7、棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的 中点，则直线被球截得的线段长为
8、设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是
9、实数满足，且，则
10、已知直线和直线与两坐标轴；围成一个 四边形，则使得这个四边形面积最小的值为
11、正三棱锥高为2，侧棱与底面成角，则点A到侧面的距离是
12、已知O为坐标原点, 集合
且
13、已知是以2为周期的偶函数，当时，，且在内，关于 的方程有四个根，则得取值范围是
14、已知点（1，0）在直线的两侧，则下列说法
（1）
（2）时，有最小值，无最大值
（3）恒成立
（4）,, 则的取值范围为（-
其中正确的是 （把你认为所有正确的命题的序号都填上）
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．
（1）求tanα的值；
试题详情
（2）求cos()的值．
16、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的
中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．
17、将圆按向量平移得到圆，直线与圆相交于、
两点，若在圆上存在点，使求直线的方程.
18、如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明
19、已知数列，中，，且是函数
的一个极值点.
（1）求数列的通项公式；
（2） 若点的坐标为（1，）（，过函数图像上的点 的切线始终与平行（O 为原点），求证：当 时，不等式
对任意都成立.
20、已知其中是自然常数，
（1）讨论时, 的单调性、极值;
（2）求证：在（1）的条件下，
（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。
理科加试题
1、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.
(1) 求油罐被引爆的概率.
(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望
2、已知二次函数为常数）；.若直线1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（1）求、b、c的值
（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
3、选修4－2：矩阵与变换
在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积
这里M= N=
4、选修4－4：坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为．
（1）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
一、填空题
1、 2、40 3、② ④） 4、-1 5、 6、3
7、 8、 9、1 10、 11、 12、46 13、
14、（3）（4）
二、解答题
15、解：（1）∵a⊥b，∴a?b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
故a?b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．……………………………………2分
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．……………………………………………6分
∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分
（2）∵α∈（），∴．
由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．
∴，…………………………………………………………12分
cos()＝
＝ ＝． ………………………14分
16、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则
（2）
（3）
，
∴ 即
=
17、解：由已知圆的方程为，
按平移得到.
∵∴.
即.
又，且，∴.∴.
设， 的中点为D.
由，则，又.
∴到的距离等于.
即， ∴.
∴直线的方程为：或.
18、（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x?AE?cos60°y2＝x2＋AE2－x?AE,①
又S△ADE＝ S△ABC＝a2＝x?AE?sin60°x?AE＝2.②
②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）, ∴y＝（1≤x≤2）。。。.6分
（2）如果DE是水管y＝≥,
当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.
如果DE是参观线路，记f（x）＝x2＋，可知
函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，
故f（x） max＝f（1）＝f（2）＝5. ∴y max＝.
即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.。。。。。。。。。。。8分
19、解：（1）由
是首项为，公比为的等比数列
当时，，
所以
（2）由得：
(作差证明)
综上所述当 时，不等式对任意都成立.
20．解．（1）
当时，，此时为单调递减
当时，，此时为单调递增
的极小值为
（2）的极小值，即在的最小值为1
令
又 当时
在上单调递减
当时，
（3）假设存在实数，使有最小值3，
①当时，由于，则
函数是上的增函数
解得（舍去）
②当时，则当时，
此时是减函数
当时，，此时是增函数
解得
1、（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C
∴P(A)=1- 答：油罐被引爆的概率为
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，
P(ξ=2)=， P(ξ=3)=C ，
P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C
ξ
2
3
4
5
P
故ξ的分布列为：
Eξ=2×+3×+4×+5×=
2、解：（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16
则，
∴函数f（x）的解析式为
（2）由得
∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（
由定积分的几何意义知：
3、解：在矩阵N= 的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转得到的图形，在矩阵M= 的作用下，一个图形变换为与之关于直线对称的图形。因此
△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1
4、解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（1），，由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（2）由解得．
即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
的概率为
、
是三个互不重合的平面，
是一条直线，给出下列四个命题：
，则
；
②若
，则
；
的距离相等，则
； ④若
，则
。
= 
，
，
，则
的值是_____________.
的前
项和
，则数列
中数值最小的项是第 项．
的8个顶点都在球
的表面上，
分别是棱
，
的 中点，则直线
被球
分别是椭圆
（
）的左、右焦点，若在其右准线上存在
使线段
的中垂线过点
，则椭圆离心率的取值范围是
满足
，且
，则
直线
和直线
与两坐标轴；围成一个 四边形，则使得这个四边形面积最小的
值为 
高为2，侧棱与底面成
角，则点A到侧面
的距离是 
集合
是以2为周期的偶函数，当
时，
，且在
内，关于
的方程
有四个根，则
（1，0）在直线
的两侧，则下列说法
时，
有最小值，无最大值
恒成立
,
,
则
的取值范围为（-
），且a⊥b． 
)的值．
中，
、
分别为
、
的
//平面
；
（2）求证：
；
的体积．
按向量
平移得到圆
，直线
与圆
、
两点，若在圆
，使
求直线
，
中，
，且
是函数
的一个极值点.
的坐标为（1，
）（
，过函数
图像上的点
的切线始终与
平行（O 为原点），求证：当
时，不等式
对任意
都成立.
其中
是自然常数，
时, 
的单调性、极值;
，使
.，每次命中与否互相独立.
为常数）；
.若直线
1、
（1）求
、b、c的值
N=
和
的极坐标方程分别为
．
2、40 3、② ④） 4、-1 5、
6、3
8、
9、1 10、
11、
12、46 13、
，或tanα＝
．……………………………………………6分
），tanα＜0，故tanα＝
．
，
＝2（舍去）．
，…………………………………………………………12分
)＝
＝
． ………………………14分
，在
中，
、
分别为
，
的中点，则
且 
，
即
=
，
平移得到
.
∴
.
. 
，且
.∴
. 
， 
的中点为D.
，则
，又
.
到
的距离等于
. 
， ∴
.
的方程为：
或
. 
S△ABC＝
a2＝
－2（y＞0）, ∴y＝
（1≤x≤2）。。。.6分
,
，即x＝
时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝
.
是首项为
，公比为
的等比数列
时，
，
得：
(作差证明)
时，不等式
对任意
都成立.
当
时，
，此时
为单调递减
时，
，此时
的最小值为1
令
当
时
在
时，
，使
有最小值3，
时，由于
（舍去）
时，则当
时，
时，
，此时
，则P(
答：油罐被引爆的概率为
， P(ξ=3)=C
，
， P(ξ=5)=C
，
得
的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转
得到的图形，在矩阵M=
的作用下，一个图形变换为与之关于直线
对称的图形。因此
，
，由
得
．
．
为
的直角坐标方程．
为
的直角坐标方程．
解得
．
和
．过交点的直线的直角坐标方程为
．