盐城市2008/2009学年度高三第一次调研考试
数 学
(总分160分,考试时间120分钟)
参考公式：线性回归方程的系数公式为
.
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.已知角
的终边过点
(－5,12),则
=____▲____.
2.设
(
为虚数单位),则
=____▲____.
3.如图,一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形,其俯视图是直径为2的圆,则该几何体的表面积为____▲____.
4.设不等式组
所表示的区域为
,现在区域中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线
上方的概率为____▲____.
5. 某单位为了了解用电量y度与气温
之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(
18
13
10
-1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程
中
，预测当气温为
时，用电量的度数约为____▲____.
6.设方程
的解为
,则关于
的不等式
的最大整数解为____▲____.
7.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.
观测次数
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中
是这8个数据的平均数),则输出的S的值是____▲____.
8.设为曲线
上一点,曲线
在点处的切线的斜率的范围是
,则点纵坐标的取值范围是____▲____.
9.已知
是等比数列,
,则
=____▲____.
10.在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线
（
）上任意一点,若点在轴、
轴上的射影分别为
、
，则
必为定值
”.类比于此，对于双曲线
（
,
）上任意一点,类似的命题为:____▲____.
11.现有下列命题:①命题“
”的否定是“
”；② 若
,
,则
=；③函数
是偶函数的充要条件是
；④若非零向量
满足
,则
的夹角为 60º.其中正确命题的序号有____▲____.(写出所有你认为真命题的序号)
12.设
分别是椭圆
的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点,使得线段
的垂直平分线恰好经过点
,则椭圆的离心率的取值范围是____▲____.
13.如图,在三棱锥
中, 、
、
两两垂直,且
.设是底面
内一点,定义
,其中
、
、
分别是三棱锥
、 三棱锥
、三棱锥
的体积.若
,且
恒成立,则正实数
的最小值为____▲____.
14.若关于的不等式
至少有一个负数解，则实数
的取值范围是____▲____.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分14分)
已知在
中,
,
分别是角
所对的边.
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)若
,
,求的面积.
16. (本小题满分14分)
如图,在四棱锥
中,侧面
底面
,侧棱
,底面是直角梯形,其中
,
,
,
是
上一点.
(Ⅰ)若
,试指出点的位置；
(Ⅱ)求证:
.
17. (本小题满分15分)
如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地
”,其中
长为定值,
长可根据需要进行调节(
足够长).现规划在的内接正方形
内种花,其余地方种草,且把种草的面积
与种花的面积
的比值
称为“草花比”.
(Ⅰ)设
,将表示成
的函数关系式；
(Ⅱ)当
为多长时,有最小值?最小值是多少?
18. (本小题满分15分)
已知
过点
,且与:
关于直线
对称.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)设
为上的一个动点,求
的最小值；
(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于
,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线
和是否平行?请说明理由.
19. (本小题满分16分)
已知函数
定义域为
(
),设
.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数
在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:
；
(Ⅲ)求证:对于任意的
,总存在
,满足
,并确定这样的
的个数.
20. (本小题满分16分)
在正项数列中,令
.
（Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求
；
（Ⅱ）若
（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；
（Ⅲ）给定正整数,正实数,对于满足
的所有等差数列,
求
的最大值.
盐城市2008/2009高三第一次调研考试
数学附加题
(总分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4―1：几何证明选讲）
如图，
⊙的内接三角形，
⊙的切线，
交
于点
，交⊙于点
，若
，
.
B.（选修4―2：矩阵与变换）
二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2).
(Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵
；
(Ⅱ)设直线
在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程．
C.（选修4―4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中,设圆
上的点到直线
的距离为
,求的最大值.
D.（选修4―5：不等式选讲）
设
为正数且
，求证:
.
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
（Ⅰ）求点A到平面PBD的距离；
（Ⅱ）求二面角A―PB―D的余弦值.
23. (本小题满分10分)
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用
表示取球终止时所需要的取球次数．
(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；
(Ⅱ)求随机变量的概率分布及数学期望
；
(Ⅲ)求甲取到白球的概率．
盐城市2008/2009高三第一次调研
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 
2. 
3.
4. 
5.68 6. 4 7. 7 8. 
9.
10. 若点P在两渐近线上的射影分别为
、
，则
必为定值
11.②③
12.
13.1 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.
15. 解: (Ⅰ)因为
,∴
,则
…………………………………………(4分)
∴
……………………………………………………………………………(7分)
(Ⅱ)由
,得
,∴
…………………………………………(9分)
则
…………………………………………(11分)
由正弦定理,得
,∴
的面积为
………………………(14分)
16. (Ⅰ)解:因为
,
,且
,
所以
……………………………………………………………………………………………(4分)
又
,所以四边形
为平行四边形,则
……………………………………(6分)
而
,故点
的位置满足
………………………………………………………(7分)
(Ⅱ)证: 因为侧面
底面
,
,且
,
所以
,则
…………………………………………………………………(10分)
又
,且
,所以
…………(13分)
而
,所以
…………………………………………………(14分)
17. 解:(Ⅰ)因为
,所以
的面积为
(
)………………………(2分)
设正方形
的边长为
,则由
,得
,
解得
,则
…………………………………………………………………(6分)
所以
,则
………………(9分)
(Ⅱ)因为
,所以
……………(13分)
当且仅当
时取等号,此时
.所以当
长为
时,
有最小值1…………………(15分)
18. 解:(Ⅰ)设圆心
,则
,解得
…………………………………(3分)
则圆的方程为
,将点
的坐标代入得
,故圆的方程为
………(5分)
(Ⅱ)设
,则,且
…………………………(7分)
=
=
,所以
的最小值为
(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)
(Ⅲ)由题意知, 直线
和直线
的斜率存在,且互为相反数,故可设
,
,由
,得
………(11分)
因为点的横坐标
一定是该方程的解,故可得
………………………………(13分)
同理,
,所以
=
所以,直线
和
一定平行…………………………………………………………………………(15分)
19. (Ⅰ)解:因为
…………………………………(2分)
由
；由
,所以
在
上递增,
在
上递减 …………………………………………………………………………………………(4分)
欲在
上为单调函数,则
………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值
(7分)
又
,所以在
上的最小值为
…………………………………(9分)
从而当
时,
,即
…………………………………………………………(10分)
(Ⅲ)证:因为
,所以
即为
,
令
,从而问题转化为证明方程=0
在
上有解,并讨论解的个数……………………………………………………………………(12分)
因为
,
,所以
①当
时,
,所以
在上有解,且只有一解 ……(13分)
②当
时,
,但由于
,
所以在上有解,且有两解 …………………………………………………………(14分)
③当
时,
,所以在上有且只有一解；
当
时,
,
所以在
上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)
综上所述, 对于任意的
,总存在
,满足,
且当
时,有唯一的
适合题意；当时,有两个适合题意…………(16分)
(说明:第(Ⅱ)题也可以令
,
,然后分情况证明
在其值域内,并讨论直线
与函数
的图象的交点个数即可得到相应的的个数)
20.（Ⅰ）解：由题意得,
,所以
=
……………………(4分)
（Ⅱ）证:令
,
,则
=1………………………………………………(5分)
所以
=
（1）,
=
（2）,
（2）―（1）,得
―
=
,
化简得
（3）……………………………………………………………(7分)
（4）,（4）―（3）得
…………(9分)
在（3）中令,得
,从而
为等差数列 …………………………………………(10分)
（Ⅲ）记
,公差为
,则
=
…………………(12分)
则
,
…………………………………………(14分)
则
,当且仅当
,即
时等号成立……………(16分)
数学附加题部分
21.A．（几何证明选讲选做题）
解：因为PB=PD+BD=1+8=9,
=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结AD,在
中,得
……(5分)
又
,所以
…………………………………………………………………(10分)
B．（矩阵与变换选做题）
解: (Ⅰ)设
,则有
=
,
=
,
所以
,解得
…………………………………………………………(4分)
所以M=
,从而
=
………………………………………………………………(7分)
(Ⅱ)因为
且m：2
，
所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l的方程 ………………………………………(10分)
C．（坐标系与参数方程选做题）
解：将极坐标方程
转化为普通方程：
……………………………………………(2分)
可化为
…………………………………………………………(5分)
在上任取一点A
,则点A到直线的距离为
,它的最大值为4
……………………………(10分)
D．（不等式选讲选做题）
证:左=
…(5分)
……………………(10分)
22．解:以OA、OB所在直线分别x轴，y轴,以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则
，
…(2分)
（Ⅰ）设平面PDB的法向量为
,
由
,
所以
=
…………………………………………………(5分)
（Ⅱ）设平面ABP的法向量
，
，
,
，
,而所求的二面角与
互补,
所以二面角A―PB―D的余弦值为
…………………………………………………………………(10分)
23．解：(Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：
，所以
=12，
解得n=4(舍去
),即袋中原有4个白球……………………………………………………………(3分)
(Ⅱ)由题意,
的可能取值为1，2，3，4………………………………………………………………(4分)
,
所以，取球次数的分布列为：
1
2
3
4
P
………(6分)
…………………………………………………………………………………………………(8分)
(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，
则
或 “=3”）,所以
………………………(10分)