2009年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）
数学（正题卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．复数
在复平面上对应的点在第 ▲ 象限．
2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ▲ ．
3．已知集合
，集合
，若命题“
”是命
题“
”的充分不必要条件，则实数
的取值范围是 ▲ ．
4．某校学生张超的学籍号码是200608251，2006表示入学年份，08表示所在班级，25表示他在班上的学号，1表示男性（2表示女性），若今年考入该校的黄艳将被编入12班，在班上的学号为6号，则她的学籍号码的各位数字和等于 ▲ ．
5．集合
若
则
▲ ．
7．向量
，
= ▲ ．
8．方程
有 ▲ 个不同的实数根．
9．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为 ▲ ．
10．已知等比数列
中，
，则使不等式
成立的最大自然数
是 ▲ ．
11．若函数
在定义域内是增函数，则实数
的取值范围是 ▲ ．
12．如果圆
上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围
是 ▲ ．
13．已知实数
满足
，则
的最大值为 ▲ ．
14．当为正整数时，函数
表示的最大奇因数,如
,
设
,则
▲ ．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹.
（1）求空弹出现在第一枪的概率；
（2）求空弹出现在前三枪的概率;
（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔
，第四枪瞄准了三角形
射击,第四个弹孔落在三角形内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）.
16．（本题满分14分）
如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=
，AD=2BC=2CD，P为平面ABCD外一
点，且PB⊥BD．
⑴ 求证：PA⊥BD；
(2) 若
与CD不垂直，求证:
；
⑶ 若直线l过点P,且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，
使得直线PC∥平面EBD.
17．（本题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：
．
⑴ 求椭圆的标准方程；
⑵ 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．
18．（本题满分16分）
如图，直角三角形ABC中，∠B＝
，AB＝1，BC＝
．点M,N分别在边AB和AC
上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△
MN，使顶点落
在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝
．
(1)
用表示线段
的长度，并写出的取值范围；
(2)
求线段
长度的最小值．
19．（本题满分16分）
已知
,函数
.
(1) 如果实数
满足
,函数
是否具有奇偶性？如果有,求出相应的
值,如果没有，说明为什么?
(2) 如果
判断函数的单调性；
(3) 如果
，
，且
，求函数
的对称轴或对称中心.
20．（本题满分16分）
已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．
（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求
满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设
，
，
若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式
恒成立．
（加试题卷）
21. 【选做题】在下面A,B,C,D四个小题中选择两题作答，每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤.
A．选修4―1 几何证明选讲
在直径是
的半圆上有两点
,设
与
的交点是
.
求证:
 |
B．选修4―2 矩阵与变换
已知矩阵
，其中
，若点
在矩阵的变换下得到点
，
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
|
被直线
（
是参数
截得的弦长.
是不相等的正实数，
张卡片，其中
张写有数字
，
，
张写有数字
，求
4. 22 5.
{2,3,4} 6. 5049 7.
10. 5 11. 
12.
13. 4 14. 
（4分）
,
，（6分）
（9分）
（9分）
的面积为6，（10分）
为圆心、1为半径的三个扇形的面积和
,（12分）
.（14分）
ABCD为直角梯形，AD =
，
AB⊥BD，（1分）
PB =B，AB，PB
平面PAB，BD⊥平面PAB，（ 4分）
∴
（9分）
，∴CD⊥平面PBC,
与
（10分）
平面EBD， BE
，
．（2分）
，（ 4分） 即
．（5分）
．（6分）
，
，直线ON的斜率为
，（8分）
，（9分）
，点M的坐标为
．（11分）
．（12分）
，
， 
，即
．（13分）
为定值．（14分）
，则
．（2分）
中，
， （4分）
∴
． （5分）
点和B点不重合，
．（7分）
,（8分）
,（9分）
＝
．（10分）
＝
．（13分）
． （14分）
，
时，
有最大值
，（15分）
有最小值
．（16分）
为偶函数，则
恒成立，（1分）
（2分）
不恒成立，得
（3分）
恒成立，（4分）
（5分）
由
恒成立，得
（6分）
，
时,显然
在R上为增函数；（8分）
时，
，
得
得
.（9分）
时, 
,
时, 
,
时，
，（13分）
有对称中心
（14分）
（15分）
.（16分）
． （1分）
．r＝c－c2． （ 4分）
，不合题意，舍去.
时，数列
为等差数列 （5分）
＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝
－2．
＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－(
（9分）
． （10分）
．（11分）
＞4，∴
＞2．
＜1． （13分）
＞－1． （14分）
，则0＜
．
．
＜1．
．∴
＜1．（15分）
恒成立．（16分）
21．A．选修4―1 几何证明选讲
于
为直径,
（2分）
四点共圆,
四点共圆. （6分）
（8分）
（9分）
（10分）
=
，（2分） ∴
. （3分）
，则矩阵
（5分）
，得矩阵