江苏省如皋市2009届高三第一次统一考试数学试卷——青夏教育精英家教网——

江苏省如皋市2009届高三第一次统一考试

数学试卷(文科)

一．填空题

１．设集合, , 则A∩B= ．

２．在等比数列中，，公比q是整数，则= ．

３．已知0<2a<1,若A=1+a², B=, 则A与B的大小关系是．

４．在数列中，已知，当时，，那么．

５．正数满足，则的最小值为 __．

６．已知数列，，且数列的前项和为，那么的值为__________．

７．已知函数的定义域是R，则实数k的取值范围是 _ ．

８．等差数列的前15项的和为-5，前45项的和为30，则前30项的和为________．

９．已知两个等差数列的前n项的和分别为，且，则＝_ ．

10．若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是．

11．．若正数a、b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是．

12．设≥0，≥0，且，则的最大值为____ __．

13．不等式的解集是．

14．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围．

二．解答题

15．．（本题14分）设全集为R,集合A={ㄏ(3-)},B={ㄏ},

求．

16．设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}的通项公式．

17．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为．

（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围．

18．已知, 若在区间上的最大值为, 最小值为

, 令．

(1) 求的函数表达式；

(2) 判断的单调性, 并求出的最小值．

19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）

（１）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数　的解析式；

（２）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？

20．已知函数满足．

（１）求的值；

（２）若数列，求数列的通项公式；

（３）若数列满足，是数列前项的和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在指出的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

一、．填空题

1．设集合, , 则A∩B=

2．在等比数列中，，公比q是整数，则= ―128

3．已知0<2a<1,若A=1+a², B=, 则A与B的大小关系是 A<B

4．在数列中，已知，当时，，那么.

5．正数满足，则的最小值为__

6．已知数列，，且数列的前项和为，那么的值为______99____

7．已知函数的定义域是R，则实数k的取值范围是 _

8．等差数列的前15项的和为-5，前45项的和为30，则前30项的和为___5_____

9．已知两个等差数列的前n项的和分别为，且，则＝__

10．若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是 4006

11．若正数a、b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是

12．设≥0，≥0，且，则的最大值为______

13．不等式的解集是或__

14．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围（,）_

二．解答题

15．（本题14分）设全集为R,集合A={ㄏ(3-)},B={ㄏ},

求．

解：A=[-1,3) ……3分

, B=(-2,3] ……6分

[-1,3) ……9分

……14分

16．（本题14分）设数列的前项和为．已知，，．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）求数列{}的通项公式．

解：（1）依题意，，即， ……3分

由此得． ……6分

因此，所求通项公式为

，． ……8分

（2）由①知，，

于是，当时，

， ……12分

13分

……14分

17．（本题15分）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为．

（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值为正数，求的取值范围．

解：（1）设由得

它的解集为（1，3）得方程的两根为1和3且a<0

即 ……（1） ……3分

有等根得

……（2） ……6分

由(1)(2)及得

故的解析式为 ……8分

（2）由

及 ……10分

由 ……12分

解得 ……15分

18．（本题15分）已知, 若在区间上的最大值为, 最小值为, 令．

(1) 求的函数表达式；

(2) 判断的单调性, 并求出的最小值．

解：(1) 函数的对称轴为直线, 而

∴在上 ……3分

①当时，即时， ……5分

②当2时，即时， ……7分

……8分

(2)

． ……15分

19．（本题16分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）

（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；

（2）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？

解：（1）设休闲区的宽为米，则其长为米，

∴，

∴

…8分

（2），当且仅当时，公园所占面积最小， ……14分

此时，，即休闲区的长为米，宽为米。……16分

20．已知函数满足．

（1）求的值；

（2）若数列，求数列的通项公式；

（3）若数列满足，是数列前项的和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在指出的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

解：（1）令，，， ……2分

令， ……5分

（2）∵ ①

∴ ②

由（Ⅰ），知

∴①+②，得

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