江浦高级中学2009届高三数学综合练习
说 明：
本试卷分第Ⅰ卷(文理必答题)和第Ⅱ卷(理科选答题)两部分，第Ⅰ卷满分160分，考试时间120分钟。第Ⅱ卷满分40分，考试时间30分钟．
注意事项：
答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内，答案写在答卷纸上对应题目的
答案空格内，填空题答案不写在试卷上．考试结束，将答卷纸收回．
参考公式：
1、用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
．
2、两个分类变量
与
的独立性假设检验中
其中
时，有
的把握认为“
与有关系”
时，有
的把握认为“与有关系”
时，有
的把握认为“与有关系”
时，没有充分的证据显示“与有关系”
第Ⅰ卷：文理必答题
一、填空题：
1、若复数
为纯虚数，则
2、在平面直角坐标系
中，双曲线中心在原点，焦点在
轴上，一条渐近线方程为
，则它的离心率为
3、平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出下列四个命题：
（1）m＇⊥n＇
m⊥n;
（2）m⊥n
m＇⊥n＇
（3）m＇与n＇相交m与n相交或重合； （4）m＇与n＇平行m与n平行或重合.
其中不正确的命题是
4、从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是
5、已知点A、B、C满足
，
，
，则
的值是_____________.
6、若数列
的前
项和
，则数列
中数值最小的项是第 项．
7、棱长为1的正方体
的8个顶点都在球
的表面上，
分别是棱
，
的中点，则直线
被球截得的线段长为
8、设
分别是椭圆
（
）的左、右焦点，若在其右准线上存在
使线段
的中垂线过点
，则椭圆离心率的取值范围是
9、在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为
10、为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了89名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，根据独立性假设检验的方法， 认为在失重情况下男性比女性更容易晕船（填能或不能）
晕机
不晕机
合计
男性
23
32
55
女性
9
25
34
合计
32
57
89
11、正三棱锥
高为2，侧棱与底面成
角，则点A到侧面
的距离是
12、已知O为坐标原点, 
集合
且
13、已知
是以2为周期的偶函数，当
时，
，且在
内，关于
的方程
有四个根，则
得取值范围是
14、已知点
（1，0）在直线
的两侧，则下列说法
（1）
（2）
时，
有最小值，无最大值
（3）
恒成立
（4）
,
,
则
的取值范围为（-
其中正确的是 （把你认为所有正确的命题的序号都填上）
二、解答题：
15、（1）推导sin3α关于sinα的表达式；
（2）求sin18°的值．
16、如图所示，在棱长为2的正方体中，
、
分别为、
的
中点．
（1）求证：//平面
；
（2）求证：
；
（3）求三棱锥
的体积．
17、将圆
按向量
平移得到圆，直线
与圆相交于
、
两点，若在圆上存在点
，使
求直线的方程.
18、下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=
;
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
9、已知数列
，
中，
，且
是函数
的一个极值点.
（1）求数列的通项公式；
（2）
若点
的坐标为（1，
）（
，过函数
图像上的点
的切线始终与
平行（O 为原点），求证：当
时，不等式
对任意
都成立.
20、设函数
，其图象在点
处的切线
的斜率分别为
．
（1）求证：
；
（2）若函数
的递增区间为
，求
的取值范围；
（3）若当
时（k是与
无关的常数），恒有
，试求k的最小值．
第Ⅱ卷：理科加试题
1、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是
.，每次命中与否互相独立.
(1) 求油罐被引爆的概率.
(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望
2、已知二次函数
为常数）；
.若直线
1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（1）求
、b、c的值
（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
请考生在1、2、3、4四题中任选二题作答，如果多做，则按所做的第1、2题记分．
1、选修4－1：几何证明选讲
如图，已知
是圆的切线，
为切点，
是圆的割线，与圆交于
两点，圆心在
的内部，点
是
的中点．
（1）证明
四点共圆；
（2）求
的大小．
2、选修4－2：矩阵与变换
在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积
这里M=
N=
3、选修4－4：坐标系与参数方程
和
的极坐标方程分别为
．
（1）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
4、选修
；不等式选讲
设函数
．
（1）解不等式
；
（2）求函数
的最小值．
一、填空题
1、
2、
3、（1）（2）（3）（4） 4、
5、
6、3
7、
8、
9、
10、不能 11、
12、46 13、
14、（3）（4）
二、解答题
15、解：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα
=2sinα(1-sin2α)+(1-2sin2α)sinα=3sinα-4sin3α ．
（2）∵sin54°=cos36°，
∴3sin18°-4sin318°=1-2sin18°．
令t= sin18°，则上式可变形为3t-4t3=1-2t2，即
(t-1)(4t2+2t-1)=0．
解得 
（t= 1与
均不合，舍去）．
∴sin18°=
．
16、证明：（1）连结
，在
中，
、
分别为
，
的中点，则
（2）
3）
且 
，
∴
即
=
=
17、解：由已知圆的方程为
，
按
平移得到
.
∵
∴
.
即
.
又
，且，∴
.∴
.
设
，
的中点为D.
由
，则
，又
.
∴
到
的距离等于
.
即
， ∴
.
∴直线
的方程为：
或
.
18、解：(1)如下图
(2)
=3
2.5+43+54+64.5=66.5
=
=4.5
=
=3.5
故线性回归方程为y=0.7x+0.35
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35
故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)
19、解：（1）由
是首项为
，公比为
的等比数列
当
时，
，
所以
（2）由
得
(作差证明)
综上所述当
时，不等式
对任意
都成立.
20．解：（1）
，由题意及导数的几何意义得
，
（1）
，
（2）
又
，可得
，即
，故
由（1）得
，代入，再由
，得
，
（3）
将代入（2）得
，即方程
有实根．
故其判别式
得
，或
，
（4）
由（3），（4）得
；
（2）由的判别式
，
知方程
有两个不等实根，设为
，
又由
知，
为方程（
）的一个实根，则有根与系数的关系得
，
当
或
时，
，当
时，
，
故函数
的递增区间为
，由题设知
，
因此
，由（Ⅰ）知得
的取值范围为
；
（3）由
，即
，即
，
因为，则
，整理得
，
设
，可以看作是关于
的一次函数，
由题意
对于恒成立，
故
即
得
或
，
由题意，
，
故
，因此
的最小值为
．
理科加试题：
1、（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为
，则P()=C
∴P(A)=1-
答：油罐被引爆的概率为
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，
P(ξ=2)=
， P(ξ=3)=C
，
P(ξ=4)=C
， P(ξ=5)=C
ξ
2
3
4
5
故ξ的分布列为：
Eξ=2×+3×+4×+5×=
2、解：（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16
则
，
∴函数f（x）的解析式为
（2）由
得
∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（
由定积分的几何意义知：
选做
1、解：（1）证明：连结
．
因为
与圆
相切于点
，所以
．
因为
是圆的弦
的中点，所以
．
于是
．
由圆心在
的内部，可知四边形
的对角互补，所以
四点共圆．
（2）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以
．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知
．
所以
．
2、解：在矩阵N=
的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转
得到的图形，在矩阵M=
的作用下，一个图形变换为与之关于直线
对称的图形。因此
△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积即为1
3、解：以极点为原点，极轴为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
为
的直角坐标方程．
同理
为
的直角坐标方程．
（2）由
解得
．
即，交于点
和
．过交点的直线的直角坐标方程为
．
4、解：
（1）令
，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线
的交点为
和
．
所以
的解集为
．
（2）由函数的图像可知，当
时，取得最小值
．
等于△ABC的面积，