江苏省前黄高级中学2008届高三调研数学试卷
命题人：孙东升 审核人：张国良
注意：本试卷分必考和选考两部分.必考内容满分160分，答卷时间120分钟；选考内容满分40分，答卷时间30分钟.
第Ⅰ部分 必考内容
（满分160分，答卷时间120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．
1.设集合
，
，若
，则
等于____________.
2.若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于__________.
3.掷一个骰子的试验，事件
表示“小于5的偶数点出现”，事件
表示“小于5的点数出现”，则事件
发生的概率为 .
4.已知x, y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为
，则
．
5.若
且
_________.
6.已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
．
7.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 ．
8.已知
是两条不重合的直线，
是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若
，
，则
；
②若
；
③若
； ④若
.
其中正确命题的序号有________.
9.已知实数x，y满足条件
（
为虚数单位），则
的最小值是 ．
10.已知
点
在
内，且
，设
，其中
，则
等于__________.
11.某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数
在
上有意义,且
,如果对于不同的
,都有
，求证：
.那么他的反设应该是___________.
12.无论
取何值时，方程
的相异实根个数总是2，则
的取值范围为
_______.
13.过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于点
，交其准线于点（
在
之间），且
，
，则
的值为
．
14.设
，
是大于
的常数，
的最小值是16，则的值等于_____．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）求证：AE⊥D1F；
（2）证明平面AED⊥平面A1FD1．
16.（本小题满分12分）下面的茎叶图是某班在一次测验时的成绩，伪代码用来同时统计女生、男生及全班成绩的平均分.试回答下列问题：
(1) 在伪代码中，“k=0”的含义是什么？横线①处应填什么？
(2) 执行伪代码，输出S，T，A的值分别是多少？
(3) 请分析该班男、女生的学习情况．
17.（本小题满分12分）已知函数
，
相邻两对称轴间的距离大于等于
(1)求
的取值范围；
(2)在
的面积.
18.（本小题满分16分）已知直线
与椭圆
相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线
：
上.
（1）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线
的对称点在圆
上，求此椭圆的方程.
19.（本小题满分18分）设三次函数
在
处取得极值，其图象在
处的切线的斜率为
.
(1)求证：
；
(2)若函数
在区间
上单调递增，求
的取值范围；
(3)问是否存在实数（是与
无关的常数），当
时，恒有
恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分20分）设数列
满足：
，且当
时，
.
(1) 比较
与
的大小，并证明你的结论；
(2) 若
，其中
，求证：
第Ⅱ部分 加试内容
（满分40分，答卷时间30分钟）
一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1.在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为
.
(1)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为
，求的分布列及数学期望.
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
（1）求直线EC1与FD1所成角的余弦值；
（2）求二面角C-DE-C1的平面角的正切值．
二、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3.已知二阶矩阵M有特征值
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
.
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；
（3）求直线：
在矩阵M作用下所得到的直线
的方程．
4.在平面直角坐标系
中，直线与抛物线
相交于不同的两点.
（1）如果直线过抛物线的焦点，求
的值；
（2）如果
证明直线必过一定点，并求出该定点.
江苏省前黄高级中学2008届高三调研
必做部分
1.
2.
3.
4.2.6 5.
6.640+80π 7.
8.①④ 9. 10.
11.“
,使得
且
” 12.
13.6 14.9
(12.图13.作
则
因
,故
,
)
15.（1）取AB的中点G，则易证得A1G∥D1F．
又正方形A1ABB1中，E、G分别是相应边的中点，
∴A1G⊥AE，∴D1F⊥AE．
（2）由正方体可知：A1 D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE ．
又由（1）已证：D1F⊥AE．
∵A1D1∩D1F= D1，∴AE⊥平面A1FD1 ．
又
平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1 ．
16.（1）全班32名学生中，有15名女生，17名男生．在伪代码中，根据“S←S/15，T←T/17”可以推知，“k=1”和“k=0”分别代表男生和女生；S，T，A分别代表女生、男生及全班成绩的平均分；横线①处应填“（S+T）/32”．
（2）女生、男生及全班成绩的平均分分别为S=78，T=76.88，A≈77.4.
（3）15名女生成绩的平均分为78，17名男生成绩的平均分为77.88．从中可以看出女生成绩比较集中，整体水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重．
17.（1）
.
，
由题意可知
解得
.
（2）由（Ⅰ）可知
的最大值为1，
.
，
. 而
，
.
由余弦定理知
，
，联立解得
.
18.（1）设A、B两点的坐标分别为
得
, 根据韦达定理，得
∴线段AB的中点坐标为(
).
由已知得
故椭圆的离心率为
.
（2）由（1）知
从而椭圆的右焦点坐标为
设
关于直线
：
的对称点为
解得
.由已知得 
，故所求的椭圆方程为
.
19.(1)方法一：
.由题设，得
, ①
.
②
∵
，∴
，∴
.
由①代入②得
，∴
，
得
∴
或
.
③
将
代入
中，得
. ④
由③、④得
；
方法二：∵，∴，∴.
同上可得
将（1）变为
代入（2）可得 
，所以
，则.
方法三：同上可得将（1）变为代入（2）可得
，显然
，所以
.
因为图象的开口向下，且有一根为x1=1,
由韦达定理得
,
.
,所以
，即
，则
，
由得 
,所以 .
(2)由（1）知，的判别式Δ=
∴方程
有两个不等的实根
，
又,∴
，
∴当
或
时，
；当
时，
.
∴函数
的单调增区间是
， 
.
由知
.
∵函数在区间
上单调递增，∴
，
∴
，即
的取值范围是
.
(3)由
，即
，∵
，
，∴
，∴
或
.(自注：视为
的一次函数)
由题意，得
，∴
.
∴存在实数
满足条件，即的最小值为
.
20.（1）由于
，则
，
∴
，∴
.
（2）由于
，由（1），则
，
，
而
，则
，∴
；
又
,
∴
.
,
∴
.
而，且
，故
, ∴
，因此
.
从而
选做部分
1. (1)设事件
表示“甲选做14题”,事件
表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“
”,且事件、相互独立.
∴ 
=
.
(2)随机变量
的可能取值为0,1,2,3,4.且
.
∴ 
.
所以变量的分布列为：
0
1
2
3
4
. (或
)
2.以A为原点，
分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有
D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．
于是 
,
．
（1）设EC1与FD1所成角为b，则
．
（2）设向量
与平面C1DE垂直，则有
．
∴
其中z＞0．
取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．
∵向量
=（0，0，2）与平面CDE垂直，
∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．
∵
，∴
．
3.（1）设M=
，则
=8=
，故
=
，故
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=
．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为
，故其另一个特征值为
.设矩阵M的另一个特征向量是e2
，则M e2=
，解得
.
（3）设点
是直线上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为
，则
=
，即
，
代入直线的方程后并化简得
,即
.
4.（1）抛物线焦点为（1，0）.
设
：
消去x得
,
则
,
=
.
（2）设：
消去x，得
.
,则y1+y2=4t ,y1y2=－4b.
=
.
令
，∴直线l过定点(2，0).