湖南省2009届高三十二校联考第一次考试学科网
文科数学试卷学科网
总分：100分 时量：90分钟 2009年3月8日学科网
长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中
石门一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中
由 联合命题学科网
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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）学科网
1．设集合则等于（ ）学科网
试题详情
A. B. C. D.学科网
2．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体甲被抽到的概率是（ ）学科网
3． 公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）学科网
A.2 B.4 C.8 D.16学科网
4．函数具有性质（ ）学科网
A.图象关于点（，0）对称，最大值为2 学科网
B.图象关于点（，0）对称，最大值为2 学科网
C.图象关于点（，0）对称，最大值为1学科网
D.图象关于直线x=对称，最大值为1学科网
5．已知直线l和平面α、β满足这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是（ ）学科网
A.0 B.1 C.2 D.3学科网
6．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时，f(x)=x-2，则不等式f(x)<的解集是（ ）学科网
A.{x｜0<x<} B.{ x｜<x<0}学科网
C.{ x｜<x<0或0≤x<} D.{ x｜x<或0≤x<)学科网
7．抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）学科网
8．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是（ ） 学科网
9．已知直线与圆C：相交于A、B两点，且 的面积是，则的值是（ ）学科网
A. B. C. D.与的值有关的数学科网
10．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：学科网
按如此规律下去，则（ ）学科网
A.1003 B.1005 C.1006 D.2011学科网
二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡上）学科网
11．在去年抗击雪灾的战斗中，上级安排9名专家分别到衡阳、株洲、郴州3地指导抗灾，每地3人，则不同的安排方法数是 ___ (用数字作答).学科网
12. 在的展开式中，有理项共有 ___项.学科网
13．已知函数的图象关于直线对称,那么 ___. 学科网
14．四面体的外接球的球心在棱上，且，则在外接球球面上、两点的球面距离是 ___.学科网
15．如图，在平面斜坐标系中，斜坐标定义为学科网
（其中分别为斜坐标系的x轴,y轴学科网
的单位向量），则点P的坐标为.若学科网
且动点满足,则点M在斜坐标系中的学科网
轨迹方程为 ___. 学科网
三、解答题（本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）学科网
16. (本小题满分12分)学科网
已知.学科网
（1）求的最小正周期与单调递减区间；学科网
（2）在中，、、分别是角的对边，若的面积为，求的值.学科网
17.（本小题满分12分）学科网
食品监管部门要对某品牌食高考资源网版权所有品四项质量指标在进入市场前进行严格的检测，如果四项指标中的 学科网
第四项不合格或其他三项指标中有两项不合格，则这种品种的食品不能上市，已知每项检测是学科网
相互独立，第四项指标不合格的概率为，且其他三项抽检出现不合格的概率均是.学科网
（1）若食品监管部门要对其四项指标依次进行严格的检测，求恰好在第三项指标检测结束时能确定不能上市的概率；学科网
（2）求该品牌的食品能上市的概率.学科网
18．（本题满分12分）学科网
如图,棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，学科网
PA=AD=3,AB=4,Q为棱PD上一点，且.学科网
（1）求二面角Q-AC-D的余弦值；学科网
（2）求点C到平面PBD的距离.学科网
19.（本大题满分13分）学科网
已知数列的前项和为,满足,学科网
（1）求数列的通项公式；学科网
（2）若数列满足为数列的前项和，求证：.学科网
20．(本小题满分13分) 学科网
以F1(0，-1)，F2(0，1)为焦点的椭圆C过点P(，1)．学科网
（1）求椭圆C的方程；学科网
（2）过点S(，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．学科网
21.（本题满分13分）
设函数，，当时，取得极值.
（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；
（2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.
一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分）
ABDCC DDBCB
二．填空题: （本大题共5小题, 每小题5分, 共25分）
11．1680 12.5 13.-1 14. 15.
三. 解答题: （本大题共6小题, 共75分）
16.（本小题满分12分）
解：（1）f(x)．．．．．．3分
……4分
令
的单调区间为,k∈Z ．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由得．．．．．．7分
又为的内角 ．．．．．9分
．．．．．．．11分
．．．．．．12分
17.（本小题满分12分）
解：（1）．．．．．．．5分
．．．．．．．12分
18．（本题满分12分）
解法一：
（1）在棱取三等分点,使,则,由⊥平面,
得⊥平面。过点作于，连结，
则，为所求二面角的平面角.
在中，，
，
所以，二面角的余弦值为．．．．．．6分
（2）因为，所以点到平面的距离等于
到平面的距离，⊥平面，
过点作于，连结，则，
⊥平面，过点作于，
则，为所求距离，
所以，求点到平面的距离为．．．．．．12分
解法二：
证明：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、
B(4，0，0)、C(4，3，0), 由已知得，
得.
设平面QAC的法向量为，则，
即∴，令,得到平面QAC的一个法向量为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.
设二面角P―CD―B的大小为q，依题意可得．．．．．6分
（2）由（1）得
设平面PBD的法向量为，则，
即，∴令，得到平面QAC的一个为法向量为
∵，∴C到面PBD的距离为 ．．．．．12分
19. （本小题满分13分）
（1）解：当时,,………………………………①
则当, 时,………………②
①－②，得，即
∴，∴，当时，，则.
∴是以为首项,为公比的等比数列,∴,
∴………………………6分
（2）证明:.
∴, 则,…………③
…………………………④
③－④，得
∴.
当时,, ∴为递增数列,
∴.．．．．．．．13分
20．(本小题满分13分)
(1)设椭圆方程为(a>b>0)，由已知c=1，
又2a= .
所以a=,b2=a2-c2=1，
椭圆C的方程是x2+ =1. ．．．．．．．4分
(2)若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1,
若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)2+y2=．
由解得即两圆相切于点(1，０)．
因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)． 事实上，点T(1，０)就是所求的点．．．．．．．．6分
证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)．
由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.记点A(x1,y1),B(x2,y2),则
由=(x1-1, y1), =(x2-1, y2), =(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=(k2+1) +(k2-1) + +1=0，
所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(1,0).故在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件．．．．．．．13分
(1)由已知c=1，设椭圆C的方程是(a>1)．
因为点P在椭圆C上，所以,解得a2=2，所以椭圆C的方程是：.
．．．．．．．4分
(2)假设存在定点T(u，v)满足条件．同解法一得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.
记点A(x1,y1)，B(x2,y2),则
又因为=(x1-u, y1-v), =(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+),y2=k(x2+)．
所以=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)
=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+k2-v+u2+v2
=
当且仅当?=０恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T.
?=０恒成立等价于解得u=1,v=0.
此时，以AB为直径的圆恒过定点T(1，０)． 当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T(1，０)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件
．．．．．．．．13分
解法三：
(1)同解法一或解法二．．．．．．．．4分
(2)设坐标平面上存在一个定点T满足条件，根据直线过x轴上的定点S及椭圆的对称性，所求的点T如果存在，只能在x轴上，设T(t，O)．
同解法一得=(x1-t,y1),=(x2-t,y2)
=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+)(x2+)
=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+k2+t2=
当且仅当?=O恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T.
?=O恒成立等价于解得t=1.所以当t=1时,以AB为直径的圆恒过点T.
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T(1，O)．
所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件．．．．．．．．13分
21. (本小题满分13分)
解：（1）由题意 …………………………1分
当时，取得极值， 所以
即 …………………3分
此时当时，，当时，，
是函数的最小值。 ………………………5分
（2）设，则 ，……8分
设，
，令解得或
列表如下：
__
0
+
函数在和上是增函数，在上是减函数。
当时，有极大值；当时,有极小值……10分
函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点
或 ……13分
学科网学科网学科网学科网学科网学科网
学科网
则
等于（ ）
学科网
B.
C.
D.
B.
C.
D.
中，
，数列
是等比数列，且
，则
（ ）
具有性质（ ）
，0）对称，最大值为2 
，0）对称，最大值为2 
的解集是（
）
} B.{ x｜
<x<0}
的准线与双曲线
的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
B.
C.
D.
表示的平面区域内运动，则
的取值范围是（
） 
B.
C.
D.
与圆C：
相交于A、B两点，且
的面积是
，则
的值是（
）
B.
C.
D.与
的值有关的数
10．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列
的前12项，如下表所示：
（ ）
学科网
的展开式中，有理项共有
___项.
的图象关于直线
对称,那么
___. 
15．如图，在平面斜坐标系中
，斜坐标定义为
（其中
分别为斜坐标系的x轴,y轴
.若
满足
,则点M在斜坐标系中的
.
、
、
分别是角
的对边，若
的面积为
，求
，且其他三项抽检出现不合格的概率均是
.
18．（本题满分12分）
.
项和为
,满足
,
；
为数列
的前
.
，1)．
，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
，
，当
时，
是函数
时，函数
的图象有两个公共点，求
15.
．．．．．．3分
……4分
的单调区间为
,k∈Z ．．．．．．．．．．．．．．．6分
得
．．．．．．7分
为
的内角 
．．．．．9分
．．．．．．．11分
．．．．．．12分
．．．．．．．5分
．．．．．．．12分
取三等分点
,使
,则
,由
⊥平面
,
⊥平面
作
于
，连结
，
则
，
为所求二面角
的平面角. 
中，
，
，
所以，二面角
．．．．．．6分
，所以点
到平面
的距离等于
到平面
于
，连结
，则
，
⊥平面
，过点
于
，
，
为所求距离，
．．．．．．12分
，
. 
，则
，
∴
，令
,得到平面QAC的一个法向量为
为平面ABCD的法向量.
．．．．．6分
，则
，
，∴令
，得到平面QAC的一个为法向量为
，∴C到面PBD的距离为
时,
,………………………………①
, 
………………②
，即
，∴
，当
时，
，则
.
是以
为首项,
为公比的等比数列,∴
,
………………………6分
.
, 则
,…………③
…………………………④
∴
.
, ∴
为递增数列,
.．．．．．．．13分
20．(本小题满分13分)
(a>b>0)，由已知c=1，
.
,b2=a2-c2=1，
=1. ．．．．．．．4分
)2+y2=
．
解得
即两圆相切于点(1，０)．
即(k2+2)x2+
k2x+
k2-2=0.记点A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x1-1, y1), 
=(x2-1, y2), 
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+
+(
+ 
+1=0， 
(a>1)． 
,解得a2=2，所以椭圆C的方程是：
.
=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)
v+u2+v2
解得u=1,v=0.
亦过点T(1，０)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件
=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+
解得t=1.所以当t=1时,以AB为直径的圆恒过点T. 
…………………………1分
时，
取得极值， 
…………………3分
时，
，当
时，
，
是函数
，则 
，
……8分
，
，令
解得
或
；当
……10分
的图象有两个公共点，
的图象有两个公共点
或 
……13分